最短路径最少费用数学建模论文.docx

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最短路径最少费用数学建模论文

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摘要

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：

问题1：

根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。

最终得到如下路线：

北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

（最短时间为61小时）

问题2：

由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：

北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

（总的时间为71.77777）（其中红色表示只路过不送货）

问题3：

要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：

问题1的最少花费为584250（元），路线如下：

北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京

问题2的最少花费为711750（元），线路如下：

北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

关键词：

关键字：

最短路径送货线路优化赋权连通简单无向图Excel最小生成树

兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，在有限的单次最大载重的前提下，考虑在时间允许的范围内如何将货物最快、最省钱的送到客户手中。

我们要研究制定既省时又省钱的最佳送货计划。

一、对问题的具体分析

1、对问题一的分析：

我们对第一问要求时间最短，我们最短时间转化最短距离，围绕货物所要运到的地址数据及这些地址之间的距离，采用Floyd算法进行求解得到任意两地之间的最短距离，再根据最小生成树的求法可以求出该图G的最小生成树，由于该问题研究的是闭合回路，所以又需要对问题进行整体优化，最后得出了最佳飞行线路。

2、对问题二的分析：

根据重量、体积和各个城市的需求量的限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果。

3、对问题三的分析：

第三问中仍将所有约束转化为路径约束，求出最优解。

3模型的假设

1、飞机在送货期间能保持正常工作状态，不受燃料以及天气变化等影响；

2、假设飞机自身无任何故障，不考虑飞机的起飞和降落时间，认为飞机在工作时速度始终保持在平均速度为900公里/小时；

3、飞机的外形及重量的变化不影响飞机的速度；

4、假设货物在存放中，货物与货物之间无空隙；

5、飞机在送完一地货物时所剩货物不满足下一地需求时则返回；

6、假定货机只能沿着图中的连通路线飞行，而不走其他的路线；

7、假设飞机送完货后必须返回北京。

§4符号说明

一、符号说明

1、将地图上城市用点表示，并进行编号详细见下

表.2

A1

北京

A11

甘肃

A2

青海

A12

西藏

A3

宁夏

A13

重庆

A4

云南

A14

内蒙古

A5

新疆

A15

河南

A6

湖南

A16

广西

A7

海南

A17

香港

A8

福建

A18

江苏

A9

黑龙江

A19

上海

A10

吉林

A20

台湾

2、AiAj：

点Ai到点Aj的线段

3、权

（1）：

表示题目中给出的两城市之间的权，如北京—新疆（A1A5）的权

（1）为23；.

4、权

（2）：

表示通过两城市之间路程所花费的时间，如北京—新疆（A1A5）的权

（2）为23*100/900+2=4.5555556（小时）

5、权（3）：

表示通过两城市之间路程的花费，如北京—新疆（A1A5）的权（3）为23*2500+1.55*5000=65250（小时），1.15为两城市指数的平均值.

6、V：

A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，A20的集合.

7、E：

A1A5，A1A6，A1A10，A1A13，A1A15，A1A17，A1A19，A2A5，A2A11，A3A11，A3A18，A4A5，A4A12，A4A15，A5A12，A5A14，A5A15，A6A7，A6A15，A6A17，A7A16，A8A18，A8A19，A9A10，A9A14，A9A18，A9A19，A13A15，A13A16，A19A20的集合.

8、W：

V中点之间的权

（2）的集合，则G=（V，E，W）表示赋权连通简单无向图

9、M：

V中点之间的权（3）的集合，则F=（V，E，M）表示赋权连通简单无向图

10、G（V，E）：

赋权连通图；

11、Gi：

G（V，E）的第i个子图；

12、Li：

为子图Gi中的最佳回路；

13、：

为边e的权；

14、：

为点的点权；

15、：

的各边的大小；

§5模型的建立与求解

依据问题的要求及相关假设，建立相应的模型并进行求解：

一、问题一的模型建立与求解

1、模型Ⅰ最小生成树模型

根据题目意思，两城市之间的时间=权

（1）*100/速度+2（单位：

小时）

例如北京到新疆A1A5权

（1）是4.5555556，其他见下

表3

线路

权

（1）

权

（2）（时间）

线路

权

（1）

权

（2）（时间）

A1A5

23

4.5555556

A5A12

8

2.888888889

A1A6

21

4.3333333

A5A14

20

4.222222222

A1A10

8

2.8888889

A5A15

22

4.444444444

A1A13

20

4.2222222

A6A7

3

2.333333333

A1A15

12

3.3333333

A6A17

2

2.222222222

A1A17

24

4.6666667

A7A16

2

2.222222222

A1A19

9

3

A8A18

4

2.444444444

A2A5

6

2.6666667

A8A19

3

2.333333333

A2A13

8

2.8888889

A9A10

2

2.222222222

A2A11

4

2.4444444

A9A14

11

3.222222222

A3A11

2

2.2222222

A9A18

15

3.666666667

A3A18

10

3.1111111

A9A19

17

3.888888889

A4A5

11

3.2222222

A13A15

12

3.333333333

A4A12

12

3.3333333

A13A16

7

2.777777778

A4A15

15

3.6666667

A19A20

4

2.444444444

定义V为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，A20的集合，定义E为A1A5，A1A6，A1A10，A1A13，A1A15，A1A17，A1A19，A2A5，A2A11，A2A13，A3A11，A3A18，A4A5，A4A12，A4A15，A5A12，A5A14，A5A15，A6A7，A6A17，A7A16，A8A18，A8A19，A9A10，A9A14，A9A18，A9A19，A13A15，A13A16，A19A20的集合，定义W为V中点之间的权

（2）的集合，则G=（V，E，W）表示图.

2、模型I求解

根据最小生成树的求法可以求出改图G的最小生成树如图2

沿着最小生成树的路线相对较短，为：

A1—A19—A20—A19—A8—A18—A3—A11—A2—A5—A12—A5—A4—A5—A2—A13—A16—A7—A6—A17—A15—A1—A10—A9—A14—A9—A10—A1

经过观察上面下划线的部分并A5—A12—A5—A4—A5—A2—A13—A16不是最短的，经计算这个路线A5—A12—A4—A15—A13—A16比上一段的要短，故用它替换上一段，这里经过了A15，那从A17可直接到A1，不用再经过A15，故A7—A6—A17—A15—A1这段可用A7—A6—A17—A1来替换，A1—A19—A20—A19—A8—A18—A3—A11—A2—A5—A12—A4—A15—A13—A16—A7—A6—A17—A1—A10—A9—A14—A9—A10—A1，由于这条路径最后一段，A20，和A9都重走了，故可对路径进行重组，依据线路最短和经过两次的城市最少的原则，经过综合分析，得出最优的路径为

A1—A17—A6—A7—A16—A13—A15—A4—A12—A5—A2—A11—A3—A18—A8—A19—A20—A19—A9—A14—A9—A10—A1。

可以将相邻两点的权

（2）相加，和为总时间，经过计算上述线路所花时间是61小时，为最短时间.

二、问题二的模型建立与求解

1、建立模型

把各个城市间的航线示意图抽象为一赋权连通图，在权图G中，对应的示意图中各个货物需求地，表示北京，对应图中的航线，边权对应示意图中的航线长。

建立的数学模型如下：

，，，，求G中回路，使得满足：

（1）；

（2）；

（3）=min（目标为总距离最短）；或=min（目标为飞行所用时间最少）。

2、模型求解

由分析得此货机至少要回去取货二次，相当于把图G分成三个子图，在每个子图中寻找最佳回路。

因为最小生成树包括图G中的所有顶点，而且最小树的边权是相邻两点之间是的距离，它描述顶点之间的相近程度，故可利用最小生成树进行初步分块。

根据最小生成树求解Kruskal算法，找到图的最小生成树如下图3：

现要对已经得到的最小生成树进行分解，以获得三个子图G，使得分解的每一组的各个城市需求和不超过50件货物，并且尽量使每一组的线路最短。

从而根据最小生成树的分解方法把图G（V，E）划分为三个子图，分别在中寻找最佳航线。

依据寻找最优回路的有效优化规则：

扩环策略、增环策略、换枝策略，寻找最优的分块结果，在，中分别寻找一条从北京出发，遍历V并回到北京的最短路线。

在G（V，E）中求三条从北京O出发并回到北京O的路，依据的步骤如下，做出G和O之间的最短路；以O与G连通的路径及原图G的最优树