自动控制原理习题第四章Word下载.docx
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因为根轨迹在和上,
所以,分离点为,会合点为。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1根轨迹图
例2求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
(1)
两个开环极点。
系统有一个。
2)实轴上根轨迹区间为。
3)渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
4)求分离点,会合点
由得
整理得
解得,。
由于实轴上的根轨迹在区间内,所以分离点应为。
5)出射角计算
同理,。
根轨迹如图4-2所示。
图4-2例2根轨迹图
例3负反馈控制系统的开环传递函数如下,绘制概略根轨迹,并求产生纯虚根的开环增益。
三个开环极点为。
三个无穷零点
2)实轴上的根轨迹区间为[-1,0],(,-10]。
3)分离点、会合点计算
整理得
解得(舍去)
4)渐近线计算
5)与虚轴的交点
系统的特征方程为
令得
即
解得
即根轨迹与虚轴的交点为
根轨迹绘于图4-3。
图4-3题3的根轨迹图
例4设系统结构图如图4-4所示。
为使闭环极点位于
试确定增益和反馈系数的值,并以计算得到的值为基准,绘出以为变量的根轨迹。
图4-4例4的控制系统结构图
系统闭环传递函数为
由于闭环极点位于,则系统闭环特征方程为=
=
所以,
系统开环传递函数
两个开环极点。
一个开环零点。
2)实轴上的根轨迹区间为(,-2]。
3)分离点,会合点计算
则
4)渐近线计算
根轨迹绘于图4-5。
图4-5例5的以为变量的根轨迹
例5已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为,试画出以为常数、为变数时,系统特征方程式的根在平面上的分布轨迹。
解
系统特征方程为
系统的特征根为
或
当为常数,为变数时,系统特征方程的根在复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以为半径的圆,如图4-6所示。
图4-6例5根轨迹分布图
例6设系统结构图如图4-7所示。
图4-7例6的控制系统结构图
以值为基准,绘制以为变量的根轨时,系统对应的等效开环传递函数为:
4)起点:
一个有限零点,。
5)实轴上的根轨迹区间为(,0]。
6)分离点,会合点计算
根据题意,实轴上的根轨迹在(,0]区间内,所以会合点为。
根轨迹绘于图4-18。
图4-8例6的以为变量的根轨迹
例8已知系统开环传递函数为
试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。
起点:
系统有四个开环极点。
一个开环有限零点。
(1)负反馈
1)实轴上根轨迹区间为。
2)渐近线计算
3)与虚轴交点
将代入系统特征方程,得
由实部虚部分别相等,得
解得
则根轨迹与虚轴的交点为
对应的根轨迹放大系数为。
根轨迹如图4-11所示。
图4-11例8负反馈情况下的根轨迹图
(2)正反馈
1)实轴上[-4,-2],[-1,0]区间为根轨迹。
3)分离点计算
解得,
由于实轴上根轨迹的区间为[-4,-2],[-1,0],所以分离点取。
根轨迹如图4-12所示。
图4-12例8正反馈情况下的根轨迹图
例9给定控制系统的开环传递函数为
试作出以为参变量的根轨迹,并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。
解闭环特征方程
改写为
等效的开环传递函数为
该系统在绘制以为参变量的根轨迹时,应遵循零度根轨迹的绘制规则。
相应的根轨迹绘于右图。
由图可知,当时,系统处于临界稳定状态。
闭环系统稳定的范围:
图4-13例9系统的根轨迹
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- 自动控制 原理 习题 第四