《高等数学同济五版》讲稿WORD版第03章中值定理与导数的应用文档格式.docx
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f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),
那么f'
(x0)=0.
罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少在一点ξ,使得f'
(ξ)=0.
简要证明:
(1)如果f(x)是常函数,则f '
(x)≡0,定理的结论显然成立.
(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点ξ∈(a,b).于是
所以f '
(x)=0.
罗尔定理的几何意义:
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a, b)内可导,那么在(a, b)内至少有一点ξ(a<ξ<
b), 使得等式
f(b)-f(a)=f '
(ξ)(b-a)
成立.
拉格朗日中值定理的几何意义:
f'
(ξ)=,
定理的证明:
引进辅函数
令ϕ(x)=f(x)-f(a)-(x-a).
容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:
ϕ(a)=ϕ(b)=0,ϕ(x)在闭区间[a, b] 上连续在开区间(a,b)内可导, 且
ϕ'
(x)=f'
(x)-.
根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使ϕ'
(ξ)=0,即
f'
(ξ)-=0.
由此得 =f '
(ξ) ,
即 f(b)-f(a)=f '
(ξ)(b-a).
定理证毕.
f(b)-f(a)=f'
(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立.
拉格朗日中值公式的其它形式:
设x 为区间[a, b]内一点, x+∆x为这区间内的另一点(∆x>0或∆x<
0), 则在[x,x+∆x] (∆x>
0)或[x+∆x,x](∆x<
0)应用拉格朗日中值公式,得
f(x+∆x)-f(x)=f'
(x+θ∆x)∆x(0<
θ<
1).
如果记f(x)为y,则上式又可写为
∆y=f'
(x+θ∆x)∆x(0<
1).
试与微分dy=f'
(x)∆x 比较:
dy=f'
(x)∆x是函数增量∆y的近似表达式,而
(x+θ∆x)∆x是函数增量∆y 的精确表达式.
作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:
定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.
证在区间I上任取两点x1,x2(x1<
x2),应用拉格朗日中值定理,就得
f(x2)-f(x1)=f'
(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<
x2).
由假定, f'
(ξ)=0,所以f(x2)-f(x1)=0,即
f(x2)=f(x1).
因为x1, x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:
f(x)在I上的函数值总是相等的, 这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.
例2.证明当x>
0时, .
证设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在区间[0, x]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有
f(x)-f(0)=f '
(ξ)(x-0), 0<
ξ<
x。
由于f(0)=0, ,因此上式即为
.
又由0<
x, 有
.
三、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
(a≤x≤b)
表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=ξ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=ξ处的切线的斜率为
,
弦AB的斜率为
.
于是
.
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a,b)内可导, 且F'
(x)在(a,b)内的每一点处均不为零, 那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式
.
成立.
显然, 如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F '
(x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成:
f(b)-f(a)=f'
(ξ)(b-a)(a<
b),
这样就变成了拉格朗日中值公式了.
§
3.3 泰勒公式
对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.
在微分的应用中已经知道,当|x|很小时, 有如下的近似等式:
ex ≈1+x,ln(1+x)≈x.
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:
首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;
其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小. 因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式.
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:
找出一个关于(x-x0)的n次多项式
pn(x)=a0+a 1(x-x0)+ a2(x-x0)2+⋅⋅ ⋅+a n (x-x0 )n
来近似表达f(x),要求p n(x)与f(x)之差是比(x-x0 )n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.
我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+⋅⋅ ⋅+an(x-x0 )n ,
pn'
(x)= a 1+2a2(x-x0 )+⋅⋅⋅ +nan(x-x0 )n-1,
p n'
'
(x)=2 a 2+3⋅2a3(x-x0 )+⋅ ⋅⋅+n(n-1)an (x-x0 ) n-2 ,
pn'
(x)=3!
a3+4⋅3⋅2a4(x-x0) +⋅⋅⋅ + n(n-1)(n-2)a n(x-x0) n-3 ,
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅,
pn(n)(x)=n!
an .
pn (x0 )=a 0, p n'
(x0)=a 1 ,pn'
(x0)=2!
a2, pn'
(x)=3!
a3 ,⋅⋅⋅,p n(n)(x)=n!
a n.
按要求有
f(x0)=pn(x0)=a0, f '
(x0)=pn'
(x0)=a1 ,f'
(x0)=pn'
(x0)=2!
a2, f'
(x0)= pn'
(x0)=3!
a3,
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅
f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!
an.
从而有
a0=f(x0), a1=f'
(x0),,⋅⋅⋅ ,,.
(k=0,1,2,⋅ ⋅ ⋅,n).
于是就有
pn(x)=f(x0)+f'
(x0)(x-x0)(x-x0)2 +⋅ ⋅⋅(x-x0) n.
泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0 )的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:
其中(ξ介于x0与x之间).
这里
多项式
称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式
+⋅ ⋅⋅,
称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式
其中(ξ介于x与x0之间).
称为拉格朗日型余项.
当n=0时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式:
f(x)=f(x0)+f'
(ξ)(x-x0)(ξ在x0与x之间).
因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
如果对于某个固定的n, 当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:
,
及.
可见, 妆x→x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即
Rn (x)=o[(x-x0)n].
在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成
+⋅⋅⋅.
当x0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是
,
或,
其中.
由此得近似公式:
.
误差估计式变为:
.
例1.写出函数f(x)=ex的n 阶麦克劳林公式.
解:
因为f(x)=f'
(x)=⋅⋅⋅=f(n)(x)=e x ,
所以f(0)=f'
(0)=f'
(0)= ⋅ ⋅⋅ =f( n)(0)=1 ,
于是 (0<
1),
并有 .
这时所产性的误差为
|Rn(x)|=|xn+1|<
|x|n+1.
当x=1时,可得e的近似式:
.
其误差为|Rn|<.
例2.求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.
因为
f'
(x)=cosx ,f'
(x)=-sinx, f '
(x)= -cosx,
,⋅⋅ ⋅,,
f(0)=0,f '
(0)=1,f '
(0)=0,f'
(0)=-1,f (4)(0)=0,⋅⋅ ⋅,
于是.
当m=1、2、3时,有近似公式
sin x≈x, ,.
3.4 函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线. 这时曲线的
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