北京市西城区届高三模拟测试二模数学理试题Word版含答案Word格式.docx
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则椭圆的离心率是
7.函数.则“”是“,使”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
8.在直角坐标系中,对于点,定义变换:
将点
变换为点,使得其中.这样变
换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.
则四个函数,,,
在坐标系内的图象,变换为坐标系内
的四条曲线(如图)依次是
(A),,,
(B),,,
(C),,,
(D),,,
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知圆的参数方程为(为参数),则圆的面积为____;
圆心到直线
的距离为____.
10.的展开式中的系数是____.
11.在△中,,,,则____.
12.设等差数列的前项和为.若,,则数列的通项公式可以是____.
13.设不等式组表示的平面区域为.若直线上存在区域上的点,则
实数的取值范围是____.
14.地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1000名乘客所需的时间如下:
安全出口编号
A,B
B,C
C,D
D,E
A,E
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)若,且,求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直,,.,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得平面?
请说明理由.
17.(本小题满分13分)
在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图:
(Ⅰ)求样本中患病者的人数和图中a,b的值;
(Ⅱ)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人,求这2人中有患病者的概率;
(III)某研究机构提出,可以选取常数,若一名从业者该项身体指标检测值大于,则判断其患有这种职业病;
若检测值小于,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率(只需写出结论).
18.(本小题满分14分)
已知直线与抛物线相切于点.
(Ⅰ)求直线的方程及点的坐标;
(Ⅱ)设在抛物线上,为的中点.过作轴的垂线,分别交抛物线和直线于,.记△的面积为,△的面积为,证明:
.
19.(本小题满分13分)
已知函数,曲线在处的切线经过点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,求在区间上的最大值和最小值.
20.(本小题满分13分)
数列:
的各项均为整数,满足:
,且,其中.
(Ⅰ)若,写出所有满足条件的数列;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)证明:
数学(理科)参考答案及评分标准
2018.5
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C2.A3.D4.B
5.D6.C7.A8.A
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.,10.11.
12.(答案不唯一)13.14.D
注:
第9题第一空3分,第二空2分.
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
解:
(Ⅰ)因为函数的定义域是,
所以的定义域为.………………4分
(Ⅱ)
………………5分
………………6分
………………7分
.………………8分
由,得.………………9分
因为,所以,………………10分
所以,或.………………11分
解得,或(舍去).………………13分
(Ⅰ)因为,且,
所以四边形为平行四边形,
所以.……2分
因为平面,……3分
所以平面.……4分
(Ⅱ)在平面内,过作.
因为平面平面,平面平面,
又平面,,
所以平面,
所以,,.
如图建立空间直角坐标系.………………5分
由题意得,,,,,.
所以,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,,所以.………………7分
平面的一个法向量为,………………8分
则.
所以二面角的余弦值.………………10分
(Ⅲ)线段上不存在点,使得平面,理由如下:
………………11分
解法一:
令,则,,所以.………………13分
因为,
所以平面与平面不可能垂直,
从而线段上不存在点,使得平面.………………14分
解法二:
线段上不存在点,使得平面,理由如下:
…………11分
假设线段上存在点,使得平面,
设,其中.
设,则有,
所以,,,从而,
所以.………………13分
因为平面,所以.
所以有,
因为上述方程组无解,所以假设不成立.
所以线段上不存在点,使得平面.………………14分
(Ⅰ)根据分层抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为人.…2分
,
.………………4分
(Ⅱ)指标检测数据为4的样本中,
有患病者人,未患病者人.………………6分
设事件A为“从中随机选择2人,其中有患病者”.
则,………………8分
所以.………………9分
(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的.………………11分当时,判断错误的概率为.………………13分
(Ⅰ)由得.………………2分
依题意,有,且.
解得.………………3分
所以直线的方程为.………………4分
将代入,解得,
所以点的坐标为.………………5分
(Ⅱ)设,则,所以.………………7分
依题意,将直线分别代入抛物线与直线,
得,.………………8分
因为,………10分
,………………12分
又为中点,所以两点到直线的距离相等,
所以.………………14分
(Ⅰ)的导函数为,………………2分
所以.
依题意,有,
即,………………4分
解得.………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
当时,,,所以,故单调递增;
当时,,,所以,故单调递减.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.………………8分
因为,所以最大值为.………………9分
设,其中.………………10分
则,
故在区间上单调递增.………………11分
所以,即,………………12分
故最小值为.………………13分
(Ⅰ)满足条件的数列为:
;
.………………3分
(Ⅱ).………………4分
否则,假设,因为,所以.又,因此有
这与矛盾!
所以.………………8分
(Ⅲ)先证明如下结论:
,必有.
否则,令,
注意左式是的整数倍,因此.
所以有:
所以.………………10分
因此有:
将上述个不等式相加得,①
又,②
两式相减即得.………………13分
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