届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学文试题Word文档格式.docx
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A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]
6.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为
A.8B.12C.6D.4
7.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的
9.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=2,S△ABC=,则b的值为
A.B.C.2D.2
10.如果函数f(x)对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),且当x≥时,f(x)=log2(3x-1),那么函数f(x)
在[-2,0]上的最大值与最小值之和为
A.2B.4C.3D.-1
11.设四边形ABCD为平行四边形,,,若点M,N满足,,
则等于
A.20B.9C.15D.6
12.定义在(0,+∞)上的单调递减函数f(x),若f(x)的导函数存在且满足,则下列不等式
成立的是
A.3f
(2)<2f(3)B.3f(4)<4f(3)C.2f(3)<3f(4)D.f
(2)<2f
(1)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知复数z=-2i,则复数虚部为_________.
14.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是_________.
15.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则
|++|的最大值是________.
16.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx有以下四个结论:
函数f(x)的最大值为;
把函数h(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位可得到函数f(x)的图象;
函数f(x)在区间上单调递增;
函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).其中正确的结论是___________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一)必考题:
共60分
17.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且,,分别为的中点.
(1)证明:
(2)设为的中点,求三棱锥的体积.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,
且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.
19.(本小题满分12分)兰州市为争创文明城市,面向全市征召宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:
第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),
第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加
(2)在
(1)的条件下,决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者
介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆C上两点,
N(3,1)是线段AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若以AB为直径的圆与直线相切,求出该椭圆方程.
21.(本小题满分12分)已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等的解,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分
请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—4;
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求直线及圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点.若点的坐标为(3,),求.
23.(本小题满分10分)选修4—5;
不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
兰州一中2020-2021-1学期期中考试答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.A2.C3.D4.C5.A6.A7.C8.D9.A10.B11.B12.A
13. ;
14.;
15.1+;
16.
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且,,分别为的中点.
解:
(1)因为分别是的中点,所以是的中位线,所以
又因为平面,平面,所以平面..................6分
(2)因为高,,..................12分
18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
解
(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
∴cosA==,∵0°
<A<180°
,∴A=60°
...................6分
(2)∵A+B+C=180°
,∴B+C=180°
-60°
=120°
.
由sinB+sinC=,得sinB+sin(120°
-B)=,
∴sinB+sin120°
cosB-cos120°
sinB=.
∴sinB+cosB=,即sin(B+30°
)=1.
∵0°
<
B<
120°
,∴30°
B+30°
150°
.∴B+30°
=90°
,
B=60°
.∴A=B=C=60°
,△ABC为等边三角形...................12分
19.(本小题满分12分)兰州市为争创文明城市,面向全市征召宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:
第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.
(3)在
(1)的条件下,决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者
(1)第3组的人数为0.06×
5×
100=30,
第4组的人数为0.04×
100=20,
第5组的人数为0.02×
100=10,
∵第3,4,5组共有60名志愿者,
∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组:
×
6=3;
第4组:
6=2;
第5组:
6=1;
即应从第3,4,5组中分别抽取3名,2名,1名志愿者.
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),
(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),
(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9种,∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为=.
20.(本小题12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆C上两点,N(3,1)是线段AB的中点.
(1)离心率e=,设椭圆C:
x2+3y2=a2(a>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,设直线AB的方程为y=k(x-3)+1,代入x2+3y2=a2,
整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.①
Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,②且x1+x2=,
由N(3,1)是线段AB的中点,得=3.
解得k=-1,代入②得a2>12,直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.
(2)圆心N(3,1)到直线的距离,.
当时方程即
,解得.
椭圆方程为.
21.(本小题满分12分)已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.
解
(1)F(x)=ax2-2lnx,其定义域为(0,+∞),
∴F′(x)=2ax-=(x>
0)................2分
①当a>
0时,由ax2-1>
0,得x>
由ax2-1<
0,得0<
x<
故当a>
0时,F(x)在区间上单调递增,...............4分
在区间上单调递减.
②当a≤0时,F′(x)<
0(x>
0)恒成立.
故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减...............6分
(2)原式等价于方程a==φ(x)在区间[,e]上有两个不等解.
由φ′(x)=易知,
φ(x)在(,)上为增函数,
在(,e)上为减函数,
则φ(x)max=φ()=,
而φ(e)=<
==φ().
所以φ(x)min=φ(e),
如图可知φ(x)=a有两个不等解时,需≤a<.
即f(x)=g(x).在[,e]上有两个不等解时a的取值范围为≤a<................12分
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