步步高必修5高中数学高届高级全书完整第二章 25 第1课时Word下载.docx
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(1)若已知其前三项,用哪个公式比较合适?
(2)若已知a1,a9,q的值.用哪个公式比较合适?
【参考答案】
(1)用Sn=.
(2)用Sn=.
梳理 一般地,使用等比数列求和公式时需注意
(1)一定不要忽略q=1的情况;
(2)知道首项a1、公比q和项数n,可以用;
知道首尾两项a1,an和q,可以用;
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:
a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.
1.在等比数列{an}中,a1=b,公比为q,则前3项和为.(×
)
2.等比数列{an}的公比q≠1,则前n项和Sn=.(×
3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(√)
类型一 等比数列前n项和公式的应用
例1 求下列等比数列前8项的和:
(1),,,…;
(2)a1=27,a9=,q<
0.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
解
(1)因为a1=,q=,
所以S8==.
(2)由a1=27,a9=,可得=27·
q8.
又由q<
0,可得q=-,
所以S8====.
反思与感悟 求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立.
跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;
前n项和Sn=________.
【参考答案】2 2n+1-2
【试题解析】设等比数列的公比为q,
∵a2+a4=20,a3+a5=40,
∴20q=40,且a1q+a1q3=20,
解得q=2,且a1=2.
因此Sn==2n+1-2.
例2 在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
解 由题意,得若q=1,
则S3=3a1=6,符合题意.
此时,q=1,a3=a1=2.
若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,
得S3===6,
解得q=-2.
此时,a3=a1q2=2×
(-2)2=8.
综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.
反思与感悟
(1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
(2)当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;
当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1,q与n时,用Sn=比较方便;
当已知a1,q与an时,用Sn=比较方便.
跟踪训练2 在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.
解 方法一 由题意知
解得或
从而Sn==(5n-1)
或Sn=
=,n∈N*.
方法二 若q=1,则S3∶S2=3∶2,
而事实上,S3∶S2=31∶6,故q≠1.
所以
两式作比,得=,
或Sn==,n∈N*.
类型二 等比数列前n项和的实际应用
例3 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:
购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
解 方法一 设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则
A2=5000×
(1+0.008)2-x=5000×
1.0082-x,
A4=A2(1+0.008)2-x=5000×
1.0084-1.0082x-x,
…
A12=5000×
1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,
解得x=
=≈880.8.
故小华每期付款金额约为880.8元.
方法二 设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则
A2=x;
A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);
A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);
A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).
∵年底付清欠款,
∴A12=5000×
1.00812,
即5000×
1.00812
=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=≈880.8.
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球上升的高度能超过125m吗?
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度,
由题意,得an+1=an,
因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn=a1+a2+…+an=
==125×
<
125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125m.
1.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于( )
A.B.
C.D.
【参考答案】C
【试题解析】当x=1时,Sn=n;
当x≠1时,Sn=.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于( )
A.2B.4C.D.
【试题解析】方法一 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2,得=+1+q+q2=.
方法二 ∵S4=,a2=a1q,∴==.
3.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项的和是( )
A.179B.211C.243D.275
【参考答案】B
【试题解析】∵q4===4,且q>0,
∴q=,∴S5===211.
4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________.
【参考答案】11a(1.15-1)
【试题解析】去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,
∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1).
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:
a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q≠1和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况.
3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q,求数列{an·
bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和.
一、选择题
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn等于( )
【参考答案】D
【试题解析】Sn==.
2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于( )
A.33B.72C.84D.189
【试题解析】由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,
得q2+q-6=0.
∵q>0,∴q=2,
∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=q2·
S3=22·
21=84.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于( )
A.11B.5C.-8D.-11
【试题解析】由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,
∴q=-2,则==-11.
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )
A.B.-
C.D.-
【试题解析】设等比数列{an}的公比为q,
由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,
即a3=9a1,q2=9,
又a5=a1q4=9,所以a1=.
5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( )
A.-2B.-1
【试题解析】由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,将q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×
a1+2,解得a1=-1,故选B.
6.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于( )
A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)
C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)
【试题解析】由3an+1+an=0,得=-,
故数列{an}是公比q=-的等比数列.
又a2=-,可得a1=4.
所以S10==3(1-3-10).
7.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A.300米B.299米
C.199米D.166米
【参考答案】A
【试题解析】小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×
8=299≈300(米).
二、填空题
8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=________.
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