广东省惠州市届高三上学期第一次调研数学试题.docx
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广东省惠州市届高三上学期第一次调研数学试题
惠州市2022届高三第一次调研考试试题
数学
全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2、作答单项及多项选择题时,选出每个小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效.
3、非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,作图题可先用铅笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效.
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1.已知集合,,若,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
2.已知i是虚数单位,复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量,则“”是“”的( )条件.
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
4.若,则( ).
A.B.C.D.
5.函数的大致图象是( ).
A.B.C.D.
6.若随机变量X满足正态分布,则有,.现有20000人参加数学测试,成绩大致服从正态分布,则可估计本次测试数学成绩120分以上的学生人数约为( )
A.1587B.228C.455D.3174
7.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:
已知一对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象,那么兔子对数依次为:
1、1、2、3、5、8、13、21、……,这就是著名的斐波那契数列,它的递推公式是,其中,.若从该数列的前300项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为( )
A.B.C.D.
8.已知等比数列的各项均为正数,公比为q﹐且,,记的前n项积为,则下列选项错误的是( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题满分5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9.已知函数,则下列结论正确的有( )
A.函数的最小正周期为.
B.将函数的图象右移个单位后,得到一个奇函数.
C.是函数的一条对称轴.
D.是函数的一个对称中心
10.在空间中.、β是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列说法正确的有( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,,则
11.下列不等关系中,正确的有( )
A.若,则B.若,则
C.D.
12.在平面直角坐标系中,已知双曲线C:
,若圆与双曲线C的渐近线相切,则下列选项中,正确的有( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率
C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为,,则
D.直线与C交于A,B两点,点D为弦的中点,若(其中O为坐标原点)的斜率为,则
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数,则曲线在点处的切线方程为__________.
14.某市场去年各月份的收入、支出的统计数据如下图所示,已知利润P=收入—支出,请根据此统计图写出一个关于利润P的正确统计结论:
__________.
15.已知点P在抛物线上,点F为该抛物线的焦点,又已知点A的坐标为,则周长的最小值为__________.
16.粽子古称“角黍”,是中国传统的节庆食品之一,由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同,粽子的形状和味道也不同.南粤流行的“五角粽子”(又称“塔粽”),其形状可以看成所有棱长均相等的正四棱锥.现制作一个棱长均为的五角粽子,需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄,蛋黄的形状近似地看成球,则当这个蛋黄的体积最大时,蛋黄的体积与粽子体积的比值为__________.
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知条件①面积,条件②;
请从上述两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
如图,在平面四边形中,,,__________,,,求.
【注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.】
18.(本小题满分12分)
已知数列中,,且(且)
(1)求数列的通项公式;
(2)若b,求证:
.
19.(本小题满分12分)
如图,已知四边形为直角梯形,,,,,且平面平面,是边长为2的等边三角形.
(1)证明:
;
(2)求二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)用随机变量X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的分布列及数学期望.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆C:
右焦点为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线与x轴交于点M,直线与x轴交于点N,若,求证:
直线l经过定点.
22.(本小题满分12分)
设函数,.
(1)若恒成立,求a的取值范围;
(2)若有两个不同的实数根,求a的取值范围.
惠州市2022届高三第一次调研考试
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题满分5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
B
C
A
D
1.【解析】由,结合数轴可得;
2.【解析】∵,∴复数对应复平面上的点为,在第二象限:
3.【解析】由或,因此“”是“”的充分不必要条件;
4.【解析由,得,∴.
5.【解析】因为,所以,函数为奇函数,排除A;时,恒成立,排除D;因为,,排除C.
【另解】当时,根据一次函数与指数函数的增长速度,可知,再结合奇偶性可选B.
6.【解析】依据题意可知,由于,
所以.因此本次考试120分以上的学生约有人.
7.【解析】依题意数列第1、2项为奇数,第3项为偶数,第4、5项为奇数,第6项又为偶数,依次循环,因此共有偶数,因此;
8.【解析】∵,∴由,∴,
又∵,∴等比数列是递减数列,且,,∴选项A,B正确:
又
,,∴选项C正确,选项D错误;
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题满分5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
全部正确选项
AD
ABD
CD
BCD
9.【解析】,∴,A正确;﹐将的图象右移个单位后得函数的图像,不满足,所以不是奇函数,B错误;因为,所以不是函数的对称轴,而是函数对称中心的横坐标,C错误,D正确.
10.【解析】由,得,又由,得,A正确:
由,,得,又由,得,B正确;若,,,m,n可能平行也可能是异面直线,C错误;由面面垂直的性质定理知D正确.
11.【解析】:
对于A:
若,,则有,不正确:
对于B:
若,则,不正确;对于:
因为,,,所以,正确;对于D:
,,所以,正确.
【另解】当判断出A、B选项不正确后,根据多选题的规则可选C、D.
12.【解析】由题意知的渐近线方程为,所以,解得:
,所以半焦距,所以e,故A错误,B正确;设,由知:
,所以,,所以.故C正确:
设,,,则,相減得:
,
则,则,则,故D正确.故选B、C、D.
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.;(或“”)
14.利润最小值为10万元【也可以是:
利润最大值为30万元,全年总利润为250万元,月平均利润为20.8万元,利润众数为20万元,等……】;
15.13;16.【结果可以写成】
13.【解析】,,则,
故所求切线方程为,整理得;
14.【解析】本题为开放题,由图可得,1月到12月的利润分别为20,20,30,20,20,20.20,10,20,30,20,20,故8月份利润低为10万元,3月和1月利润最高,为30万元,全年总利润为250万元,月平均利润为20.8万元,利润众数为20万元,利润方差约为24.3……等正确结论都可以.
15.【解析】因为A在抛物线内部,抛物线的焦点,抛物线的准线方程为,的周长为,,∴当过A作准线的垂线交抛物线于点P时,最小,此时,周长的最小值为.
16.【解析】球的体积要达到最大,则需要球与正四棱锥五个面都相切,
正四棱锥的高为设球的半径为r,
所以四棱锥的体积,
故解得,则.
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骙.
17.(本小题满分10分)
【解析1】选择条件①的面积
【解法1】根据三角形面积公式,
∴,
由选择条件得,∴
在中,由余弦定理
∴
,
∴
【注】1、若解答过程无定义a,b,c而使用此三个符号,需扣1分.
2、能正确写出对解题有用的三角形面积计算公式和余弦定理表达式(非文字),可各给1分.
【解法2】根据三角形面积公式
∴
∴,
所以为等腰三角形,
过B作
则
由勾股定理得
所以.
【解析2】选择条件②;
设,则,
在中,由正弦定理,
即,∴
在中,由正弦定理,
即,∴
∴,∴
又,∴
则,
所以.
【注】1、若解答过程无写出,需扣1分.
2、能正确写出对解题有用的正弦定理表达式(非文字),可给1分,但不重复给分.
3、无过程直接得出或,最多可得4分(公式1分及8—10分点)
18.(本小题满分12分)
【解析】
(1)【解法1】由已知得,
∴,
即,
又,∴
所以
【注】1、过程有体现累加的思想,可得1分.
2、若等差数列求和出现项数或首项错误,但能写出等差数列求和公式表达式,可得1分.
【解法2】(数学归纳法)
由得
,
猜测.
下面用数学归纳法加以证明:
(1)当时,,显然成立.
②假设当时成立,即
则当时,
成立.
所以
【注】1、只有猜测结果且正确,没有证明过程,只可得2分.
2、根据满分卷无瑕疵原则,证明可给满分的情况下,没有写出递推莫基或未指出k的范围(即,)需扣1分.
3、证明过程化简未正确写出的形式,5分点不得分.
(2)∵∴
记,
∴,①
∴②
①—②,得,
∴
又
∴,
即
【注】1、解答过程有错位相减法的思想,可得1分.
2、其它类似解法可按本过程得分点对应给分即可.
19.(本小题满分12分)
【解析】
(1)【解法1】在直角梯形中,因为,,,
所以;
因为平面平面,平面平面,
平面且,
所以平面,
因此在中,.
因为所以平面,
所以在中.
所以在中,,
所以.
【解法2】如图,取中点O,连结,,,则
在直角梯形中,因为,,,
;
在中,.
在中,
所以在中,,即.
因为平面平面,平面平面,
平面且,
所以平面,
又平面,
又平面,平面,
所以平面,
又平面,
所以
(2)【解法1】设线段的中点为O,连接,
因为是等边三角形,所以,
因为平面平面,平面平面,
所以平面,又平面,,
由
(1)知,
所以平面,所以,
因此是二面角的平面角,
在中,,
因为,
所以
即二面角为.
【注】1、能正确指出二面角的平面角,可得1分.
2、二面角的平面角证明过程得2分,注意可能在第
(1)小问证明中已经有这个过程.
【解法2】如图,以O为点,过O作平行于的直线为
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