构造平行四边形证几何题技巧文档格式.docx

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1２、证面积问题

在证明或计算某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。

例1.已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。

求证：

GF//EH。

证明：

连结GE、FH

四边形ABCD是平行四边形

又

四边形EHFG是平行四边形

例2在△ABC中，AE、BD、CF为中线，FM∥BD，DM∥AB。

MC∥AE

连结AM、FD。

∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM为平行四边形

∴BF∥DM∵AF＝BF∴AFDM

∴四边形AFDM为平行四边形

∴AMFD

又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点

∴FDEC

∴AMEC，

∴四边形AECM为平行四边形

∴MC∥AE。

例3.如图，中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC于F，∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG//DE。

BF=CF

分析：

过点C作CM//AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF

过点C作CM//AB交BE于点M，连接BM、CD，则∠CME=∠ADE

四边形BMCD为平行四边形

故BF=CF

例4.如图，AD是的边BC上的中线，求证：

欲证，即要证，设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。

注意到AD为的中线，故可考虑延长AD到E，使DE=AD，则四边形ABEC为平行四边形。

从而问题得证。

延长AD到E，使DE=AD，连结BE、EC

四边形ABEC是平行四边形

在中，AE<

AB+BE

即2AD<

AB+AC

点评：

此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。

例5.如图，分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中点，求证：

FH=2AM

延长AM到D，使MD=AM，连结BD、CD，

是BC的中点

四边形ABDC为平行四边形

又AF=BA，AH=AC=BD

故FH=2AM

例6如图5，分别以△ABC的边AB、BC为边向外作正方形ABDE和BCFG，BM为AC边上的中线。

DG＝2BM

延长BM到N，使MN＝BM，连结AN、CN。

则四边形ANCB为平行四边形

∴AN＝BC

又∵BG＝BC，∴AN＝BG

又∠DBG＝180°

－∠ABC

∠BAN＝180°

∴∠DBG＝∠BAN

∵DB＝BA

∴△DBG≌△BAN

∴DG＝BN，而BN＝2BM

∴DG＝2BM

例7.平面上三个等边三角形两两共有一个顶点，如图所示，求证：

CD与EF互相平分

要证CD与EF互相平分，须证四边形DFCE是平行四边形

连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD

又AE=AC，AD=AB

∠DAE=60°

－∠EAB=∠BAC

四边形DECF是平行四边形

故CD与EF互相平分

例8.如图，中，点E、F在边AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求证：

ED+FG=AC

过E作EH//BC交AC于H

四边形CHED为平行四边形

又AE=BF，

例9如图4，在△ABC的边AB上截取AE＝BF，过E作ED∥BC交AC于D，过F作FG∥BC交AC于G。

过G作GH∥AB交BC于H，则四边形FBHG为平行四边形

例10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC>

BD

∠DBC>

∠ACB

过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形

在中，∠DBE>

∠E

例11如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于S、T，求证：

∠ATF=∠BSF.

【分析】由于∠ATF和∠BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，所以需要把两个角转移，由此想到会通过某些点做平行线，再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目的.

证明过点F做GHCD，且FG=FH，连接DG、CH、AG、BH.则四边形DGHC和四边形AGBH是平行四边形.∴AG=BH，DG=CH，DG//SF//CH.∴∠ADG=∠ATF，∠BCH=∠BSF.又∵AD=BC，∴△ADG≌△BCH（SSS），∴∠ADG=∠BCH，∴∠ATF=∠BSF.

例12求证：

四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点.

【分析】如图，即证EF、MN和HL三线共点，易猜想这三线两两互相平分，结合平行四边形对角线性质，可想到构造平行四边形.

证明如图，设N、H、M、L、F、E分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，只需证明EF、LH和ML三线共点.

连接LE，EH，HF，LF，NE，EM，MF，FN.则LE、HF分别为△ABD和△ABC的中位线，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四边形EHFL是平行四边形，设EF，LH相交于O，则O平分EF.同理可证：

四边形NFME是平行四边形，所以MN平分EF，即MN经过点O.故EF，LH，MN三线共点.

例13如图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数.

【分析】题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.

证明过点C做CF//AD，过点D做DF//BC，CF与DF相交于F，连结EF.则四边形DBFC是平行四边形，所以DF=BC，FC=DB.

△ADE中，AD=ED，其底角∠EAD必为锐角，则∠BAC必为钝角，必为△ABC的顶角，所以AB=AC，又∵EC=AD，∴AE=DB，∴AE=FC.∵AD//FC，∴∠EAD=∠ECF，∴△ADE≌△CEF（SAS），∴EF=DE，从而DE=DF=EF，故△EDF是等边三角形.

设∠BAC=，则∠ADF=∠ABC=，∠DAE=，∠ADE=1800-2∠DAE=.因为∠ADF+∠ADE=∠EDF=，所以：

+，解之得，即∠BAC=.

例14四边形ABCD中，已知AB=，BC=，CD=，∠ABC=，∠BCD=，求AD的长.

【分析】所给的条件与要求的AD无法直接建立关系，因此需要将AD转移到某个特殊三角形内，注意到∠ABC和∠BCD的补角的度数分别是和，不难做出辅助线了.

解过点A作AF⊥CB于F，过点D作DE⊥BC于E，则AF//DE，再过点F作FG//AD交DE于G，那么四边形AFGD为平行四边形.

∵∠ABC=，∠BCD=

∴∠FBA=，∠ECD=

在Rt△ABF中，

AF=BF=AB=

在Rt△CED中，

CE=CD=3

DE=

∴EG=DE-DG=DE-AF=，EF=FB+BC+CE=8

在Rt△FEG中，

FG=

故AD=

例15如图6，在梯形ABCD中，

AB∥CD，AC=BD.

　　求证：

梯形ABCD是等腰梯形.

　　证明：

过C点作CE∥BD交于AB的延长线于点E，则四边形CDBE是平行四边形.∴BD=CE，∠1=∠E.

　　又∵AC=BD，∴AC=CE，

　　∴∠2=∠E.又∵AB=BA，∴△DAB≌△CBA.

∴AD=BC.∴梯形ABCD是等腰梯形.

例16如图7，E是梯形ABCD腰DC的中点.

S△ABE=S梯形ABCD.

过点E作MN∥AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形.

∴S△ABE=S平行四边形ABNM.

又∵AD∥BC，DE=CE,

∴∠1=∠C，∠M=∠2，

∴△EMD≌△ENC.

∴S梯形ABCD=S平行四边形ABNM，

∴S△ABE=S梯形ABCD.

同步练习：

1.如图1，在梯形BCED中，DE//BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。

过F作FG//BC交EC于G，求证：

DE+FG=BC。

2.如图2，中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D。

DE=DF

3.如图3，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：

EF与GH互相平分

4.如图4，已知AB=AC，B是AD的中点，E是AB的中点，求证CD=2CE

5.已知：

如图5在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：

O是BD的中点。

６、如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中线AD的取值范围是．

７、如图，六边形ABCDEF中，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，AF－CD=3，则BC+DE等于多少？

８、如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点，且DB=CE，试说明DE>

BC．

提示：

1.过点F作FM//AC交BC于点M，则有平行四边形FMCG。

2.过E作EG//AC交BC于G，连结CE、GF。

3.连结FH、HE、EG、GF

4.延长CE至F，使EF=CE，连结AF、BF。

5.连结BF、DE

四边形BEDF是平行四边形

O是BD的中点

解析：

延长AD至E，使ED=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，所以BE=AC，在△ABE中，因为AB－BE<

AE<

AB+BE，即10－6<

2AD<

10+6,故知2<

AD<

8．

本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质得出等于AD的2倍的线段AE，同时更重要的是将AB、AC的代换