K12教育学习资料高中数学第三章不等式34基本不等式学案新人教A版必修5Word格式文档下载.docx
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(2)若a≠0,则a+≥2=4( )
(3)若a>
0,b>
0,则ab≤2( )
解析:
(1)错误.任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥2成立.
(2)错误.只有当a>
0时,根据基本不等式,才有不等式a+≥2=4成立.
(3)正确.因为≤,所以ab≤2.
答案:
(1)×
(2)×
(3)√
2.若a>b>0,则下列不等式成立的是( )
A.a>b>>
B.a>>>b
C.a>>b>
D.a>>>b
选B a=>>>=b,因此B项正确.
3.若x>
0,则x++2有( )
A.最小值6 B.最小值8
C.最大值8D.最大值3
选B 由x++2≥2+2=8(当且仅当x=,即x=3时,取等号),故选B.
4.利用基本不等式求最值,下列运用正确的是( )
A.y=|x|2+≥2=4≥0
B.y=sinx+≥2=4(x为锐角)
C.已知ab≠0,+≥2=2
D.y=3x+≥2=4
选D 在A中,4不是常数,故A选项错误;
在B中,sinx=时无解,y取不到最小值4,故B选项错误;
在C中,,未必为正,故C选项错误;
在D中,3x,均为正,且3x=时,y取最小值4,故D选项正确.
利用基本不等式比较大小
[典例]
(1)已知m=a+(a>
2),n=22-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是( )
A.m>
n B.m<
n
C.m=nD.不确定
(2)若a>
b>
1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则P,Q,R的大小关系是________.
[解析]
(1)因为a>
2,所以a-2>
0,又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<
2,n=22-b2<
4,综上可知m>
n.
(2)因为a>
1,所以lga>
lgb>
0,
所以Q=(lga+lgb)>
=P;
Q=(lga+lgb)=lg+lg=lg<
lg=R.
所以P<
Q<
R.
[答案]
(1)A
(2)P<
R
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>
0.
[活学活用]
已知a,b,c都是非负实数,试比较++与(a+b+c)的大小.
解:
因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,
所以≥(a+b),
同理≥(b+c),≥(c+a),
所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)],
即++≥(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.
利用基本不等式证明不等式
[典例] 已知a,b,c均为正实数,求证:
++≥3.
[证明] ∵a,b,c均为正实数,
∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
将上述三式相加得++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
∴++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:
从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:
≥8.
证明:
因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,
所以-1==≥.
同理,-1≥,-1≥.
上述三个不等式两边均为正,
相乘得≥·
·
=8,当且仅当a=b=c=时,取等号.
利用基本不等式求最值
[典例]
(1)已知lga+lgb=2,求a+b的最小值.
(2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值.
(3)已知x>0,y>0,+=1,求x+y的最小值.
[解]
(1)由lga+lgb=2可得lgab=2,
即ab=100,且a>0,b>0,
因此由基本不等式可得a+b≥2=2=20,
当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值20.
(2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
∴xy=(2x·
3y)≤·
2
=·
2=,
当且仅当2x=3y,
即x=,y=1时,xy取到最大值.
(3)∵+=1,
∴x+y=(x+y)·
=1+++9=++10,
又∵x>0,y>0,
∴++10≥2+10=16,
当且仅当=,即y=3x时,等号成立.
由得
即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件:
即一正、二定、三相等.在具体的题目中,“正数”条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键.
(2)常用构造定值条件的技巧变换:
①加项变换;
②拆项变换;
③统一变元;
④平方后利用基本不等式.
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.
1.已知a>
0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为( )
A.8B.7
C.6D.5
选C 由已知,可得6=1,∴2a+b=6·
(2a+b)=6≥6×
(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,∴9m≤54,即m≤6,故选C.
2.设a>
0,则a2++的最小值是( )
A.1B.2
C.3D.4
选D 因为a>
0,所以a-b>
所以a2++
=a(a-b)++ab+
≥2+2=4,
当且仅当a(a-b)=且ab=,
即a=,b=时等号成立.
利用基本不等式解应用题
[典例] 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
[解]
(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为S=xy,依题意得,40x+2×
45y+20xy=3200,
由基本不等式得
3200≥2+20xy
=120+20xy,
=120+20S.
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
故≤10,从而S≤100,
所以S的最大允许值是100平方米,
(2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,
求得x=15,即铁栅的长是15米.
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性.
(4)正确写出答案.
某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:
万元)与机器运转时间x(单位:
年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),求当每台机器运转多少年时,年平均利润最大,最大值是多少.
每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>
0,故≤18-2=8,
当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.
故当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.
层级一 学业水平达标
1.下列结论正确的是( )
A.当x>
0且x≠1时,lgx+≥2
B.当x>
0时,+≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0<
x≤2时,x-无最大值
选B A中,当0<
x<
1时,lgx<
0,lgx+≥2不成立;
由基本不等式知B正确;
C中,由对勾函数的单调性,知x+的最小值为;
D中,由函数f(x)=x-在区间(0,2]上单调递增,知x-的最大值为,故选B.
2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.lg(x2+1)≥lg(2x) B.x2+1>
2x
C.≤1D.x+≥2
选C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;
对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;
对于D,当x<
0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴≤1成立.故选C.
3.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是( )
A.+<
1B.+≥1
C.+<
2D.+≥2
选B 因为ab≤2≤2=4,所以+≥2≥2=1.
4.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则( )
A.>
B.<
C.=D.≤
选A 因为a,b,c,d成等差数列,则a+d=b+c,又因为a,b,c,d均大于0且不相等,所以b+c>
2,故>
.
5.若x>
0,y>
0,且+=1,则xy有( )
A.最大值64B.最小值
C.最小值D.最小值64
选D 由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.
6.若a>
0,且+=,则a3+b3的最小值为________.
∵a>
0,∴=+≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,则a3+b3的最小值为4.
4
7.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.
由题意得,y=,
∴2x+y=2x+==≥3,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
3
8.若对任意x>
0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
因为x>
0,所以x+≥2.当且仅当x=1时取等号,
所以有=≤=,
即的最大值为,故a≥.
9.
(1)已知x<
3,求f(x)=+x的最大值;
(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.
(1)∵x<
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