高中数学苏教版必修四教学案第2章 24 向量的数量积含答案Word格式.docx
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b;
若a·
b=0,求θ.
,则a·
b=|a|·
|b|cos90°
=0;
b=0,则|a|·
|b|cosθ=0,∴cosθ=0.
又∵0°
≤θ≤180°
,∴θ=90°
若θ=0°
若θ=180°
b.
|b|cos0°
=|a|·
|b|;
|b|cos180°
=-|a|·
|b|.
1.两个向量的数量积
(1)当a与b同向时,a·
b=|a||b|;
(2)当a与b反向时,a·
b=-|a||b|;
(3)a·
a=|a|2或|a|=.
2.数量积的运算律
(1)a·
b=b·
a;
(2)(λa)·
b=a(λb)=λ(a·
b)=λa·
(3)(a+b)·
c=a·
c+b·
c.
1.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
2.向量数量积的几何意义,是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值.这个投影值可正可负也可以为零,向量的数量积的结果是一个实数.
3.数量积的运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即(a·
b)·
c≠a·
(b·
c),这是因为a·
b,b·
c都是实数,(a·
c与向量c方向相同或相反.a·
c)与向量a方向相同或相反,而a与c不一定共线,就是a与c共线,(a·
c与a·
c)也不一定相等.
[例1] 已知正方形ABCD的边长为2,分别求:
(1)·
;
(2)·
(3)·
[思路点拨] 求数量积时,利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来.
[精解详析]
(1)∵,的夹角为π,
∴·
=||||cosπ=2×
2×
(-1)=-4.
(2)∵,的夹角为,
=||||cos=2×
0=0.
(或∵,的夹角为,∴⊥,故·
=0)
(3)∵,的夹角为,
=-4.
[一点通] 求平面向量的数量积时,常用到以下结论:
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)(mc+nd)=xma·
c+xna·
d+ymb·
c+ynb·
d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·
b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·
b+2b·
c+2a·
1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°
(-b)=________.
解析:
a·
(-b)=-a·
b=-|a||b|cos135°
=-4×
6×
cos135°
=12.
答案:
12
2.设正三角形ABC的边长为,=c,=a,=b,则a·
b+b·
c+c·
a=________.
a=·
cos120°
+·
·
=-3.
-3
3.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求·
的值.
解:
∵2=+,=-,
∴
(2)2=(+)2,2=(-)2,
∴4·
=42-2=-64,
=-16,
[例2] 已知向量=a,=b,∠AOB=60°
,且|a|=|b|=4.求|a+b|,|a-b|,|3a+b|.
[思路点拨] 根据已知条件将向量的模利用|a|=转化为数量积的运算求解.
[精解详析] ∵a·
|b|cos∠AOB=4×
4×
=8,
∴|a+b|==
==4,
|a-b|==
|3a+b|==
==4.
[一点通] 关系式a2=|a|2可使向量的长度与向量数量积互相转化,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法,特别注意不要忘记开方.
4.已知向量a,b夹角为45°
,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
依题意,可知|2a-b|2=4|a|2-4a·
b+|b|2=4-4|a||b|·
cos45°
+|b|2=4-2|b|+|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0,∴|b|==3(负值舍去).
3
5.已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则a-b|=________.
由|a+b|=4,
得|a+b|2=42
∴a2+2a·
b+b2=16.①
∵|a|=2,|b|=3,
∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得4+2a·
b+9=16,
即2a·
b=3.
(a-b)2=a2-2a·
b+b2=4-3+9=10,
∴|a-b|=.
6.已知|a|=2,|b|=4,a,b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度.
∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a-b|,
∴|a-b|==
==2.
[例3] 已知a,b是非零向量,且(a-2b)⊥a,b⊥(b-2a),求a与b的夹角.
[思路点拨] 根据向量的数量积公式变形为cosθ=,从而可求θ.
[精解详析] ∵(a-2b)⊥a,b⊥(b-2a),
∴
∴∴|a|=|b|.
设a与b的夹角为θ,
则cosθ====.
又∵θ∈[0,π],∴θ=.
[一点通] 向量的数量积公式a·
b=|a||b|cosθ不仅可以用来求数量积,也可以用来求模与夹角,即cosθ=.在根据已知三角函数值求角时,要注意角的范围的确定.此外,要注意若两非零向量a,b的夹角为锐角⇔a·
b>
0且a·
b≠|a||b|;
两非零向量a,b的夹角为钝角⇔a·
b<
b≠-|a||b|.
7.已知|a|=1,|b|=6,a·
(b-a)=2,则向量a与向量b的夹角为________.
由条件得a·
b-|a|2=2,设a与b的夹角为α,则a·
b=2+|a|2=3=|a||b|cosα=1×
cosα.所以cosα=,所以α=.
8.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°
,则=________.
(a+2b)·
(a-2b)=a2-4b2,∵a⊥b,
∴|a+2b|=,|a-2b|=.
∴cos120°
==
==-.
∴=.∴=.
9.已知单位向量e1,e2的夹角为60°
,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.
设a,b的夹角为θ,∵单位向量e1,e2的夹角为60°
,
∴e1·
e2=|e1||e2|cos60°
=.
∴a·
b=(e1+e2)·
(e2-2e1)
=e1·
e2+e-2e-2e1·
e2
=e-2e-e1·
e2=1-2-=-,
|a|==
=
==,
|b|==
==.
∴cosθ===-.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
1.向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量,a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b⇔a·
b=0,此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系.
(2)当a与b同向时,a·
b=|a||b|,当a与b反向时,a·
b=-|a||b|,即当a与b共线时,|a·
b|=|a||b|,此性质可用来证明向量共线.
a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(4)cosθ=,此性质可求a与b的夹角.
2.求向量夹角的一般步骤
(1)求两向量的模;
(2)计算两向量的数量积;
(3)计算夹角的余弦值;
(4)结合夹角的范围[0,π]确定所求的夹角.
课下能力提升(二十)
一、填空题
1.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°
b等于________.
b=|a||b|cosθ=2×
×
2.已知△ABC是等腰直角三角形,C=90°
,AB=2,则·
等于________.
由题意知||=2×
=2.
=||·
||cos135°
=2×
-4
3.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°
,则向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角为________.
设a,b的夹角为θ.
因为|m|=1,|n|=1,m,n夹角为60°
,所以m·
n=.
所以|a|===,
|b|===,
b=(2m+n)·
(2n-3m)=m·
n-6m2+2n2=-.
所以cosθ==-.
又因为0°
,所以θ=120°
,即a,b的夹角为120°
4.已知向量a,b满足(a+2b)·
(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.
由于(a+2b)·
(a-b)=-6,
且|a|=1,|b|=2,
所以a2+a·
b-2b2=-6,
即12+1×
2cosθ-2×
22=-6,
化简得cosθ=,
又∵θ∈[0°
,180°
],
∴θ=60°
5.在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·
=________.
如图所示,∵=2,
∴D是BC的中点.
∴=(+).
∵=3,
∴=+=-+.
=(+)·
=-.
-
二、解答题
6.已知|a|=4,|b|=5,当
(1)a∥b;
(2)a⊥b;
(3)a与b的夹角为60°
(4)a与b的夹角为150°
时.分别求a与b的数量积.
令a与b的夹角为θ.
(1)因为a∥b,则当a与b同向时,θ=0°
b=|a||b|cos0°
=20;
当a与b反向时,θ=180°
b=|a||b|cos180°
=-20.
(2)当a⊥b时,θ=90°
,a·
b=|a||b|cos90°
=0.
(3)当θ=60°
时,a·
b=|a||b|cos60°
=4×
5×
=10.
7.已知|a|=1,a·
b=,(a-b)·
(a+b)=.
(1)求a与b的夹角为θ;
(2)求|a+b|.
(1)∵(a-b)·
(a+b)=a2-b2=,|a|=1,
∴b2=a2-=1-=,∴|b|=.
∴cosθ===,又θ∈[0,π],
∴θ=.故a与b的夹角为.
(2)|a+b|===.
8.已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时,向量a+mb与a-mb互相垂直?
若向量a+mb与a-mb互相垂直,
则有(a+mb)·
(a-mb)=0.
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,
∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±
∴当且仅
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