届高考数学一轮总复习专题函数奇偶性和周期性练习Word格式文档下载.docx
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即.本题选择C选项.
【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题,可由为奇函数及单调递增性质,化为比较自变量,再运用指数和对数函数的性质,来比较大小。
对知识综合运用要求较高。
4.【2017高考江苏文14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数,在区间上,其中
集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.
【答案】8
【解析】解法一;
由于只需考虑1≤x<
10的情况,在此范围内,
解法二;
∵在区间[0,1)上,,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,
又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,,
此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;
同理:
区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;
区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;
区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;
……
区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;
在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;
故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;
即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,
【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题,函数的图象和性质及转化思想。
对知识综合运用能力要求较高,有相当难度。
(需注意对题中条件集合D的解读)
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
奇偶性
B
周期性
A
高考对函数奇偶性与周期性的考查要求为掌握,以小题的形式进行考查。
有一定的综合性,常与函数的求值,零点、图像、解不等式等问题结合。
纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:
一是考查函数的奇偶性、周期性的理解和运用;
如函数奇偶性的判断,函数求值等。
二是以性质为载体解决函数零点问题,解不等式。
解决问题中要注意数形结合思想的运用。
融会贯通
题型一 函数奇偶性的判断
典例1.
(1)(2015年山东高考)下列判断正确的是()
A.函数是奇函数B.函数是偶函数
C.函数是偶函数D.函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
(2)(2017浙江省嘉兴市模拟)已知函数,,则的图象为()
【解析】由为偶函数,排除,当时,,排除B.
解题技巧与方法总结
判断函数奇偶性的两个方法
1.定义法;
2.图象法;
【变式训练】
1.(2015福建高考)下列函数为奇函数的是( )
A.y=B.y=|sinx|
C.y=cosxD.y=ex-e-x
【答案】D
2.(2017云南省昆明模拟)设函数的定义域为,且是偶函数,则下则结论中正确的是()
A.是偶函数B.是奇函数
C.的图像关于直线对称D.的图像关于(0,1)对称
【解析】由题意得,例如,则是偶函数,此时是奇函数,所以A不正确;
例如,则是偶函数,此时是偶函数,所以B不正确;
例如,则是偶函数,图象关于轴对称,所以D不正确;
由函数的图象变换可知,函数向右平移1个单位,可得函数的图象,又函数是偶函数,图象关于对称,所以函数的图象关于对称,故选C。
3.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
【答案】见解析
知识链接:
知识点1 函数的奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
必会结论:
函数奇偶性常用的结论
①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(x)有意义,那么一定有f(0)=0;
②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|);
③在公共定义域内有:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇;
④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性.偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性.
题型二 函数周期性及应用
典例2.
(1)(2017山东省威海模拟)周期为4的奇函数在上的解析式为;
,则()
【解析】因为函数是周期为4的奇函数,所以
,则
(2)(2017兰州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,
则f(105.5)=________.
【答案】2.5
(3)(2016兰州模拟)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,
当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
①求证:
f(x)是周期函数;
②当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
③计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)的值.
【解析】①证明:
函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,
则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
②当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x=1对称,
则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
③∵f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=0,f(3)=f(-1)=-f
(1)=-1,
又f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f
(1)=1.
函数周期性的判定与应用
1.判定:
判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.
2.应用:
根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
1.(2017成都市第七中三诊).设是定义在上周期为2的奇函数,当时,,则()
A.B.C.D.
【解析】由题意可知:
.选C.
2.(2017河北省巨鹿月考)已知对于任意的,都有,
且,则()
A.B.C.D.
3.(2017银川模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017).
【解析】
(1)证明:
∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
f(2015)=0.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f
(1)=0+1=1.
知识点2 函数的周期性
1.周期函数;
T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:
(1)T≠0;
(2)f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.
2.最小正周期;
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
3.周期不唯一;
若T是函数y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
函数周期性常用结论;
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0);
②若f(x+a)=,则T=2a(a>
③若f(x+a)=-,则T=2a(a>
0).
对称性的三个常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
③若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
题型三 函数奇偶性的应用
命题点1 已知函数的奇偶性求函数的值
典例3.
(1)(2017重庆市巴蜀中学三模)定义在上的奇函数满足,且
当时,,则()
A.-2B.2C.D.
【解析】由得函数是周期为的周期函数,且为奇函数,
故.
(2)(2016杭州模拟)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f
(1)=1,则f(8)+f(9)=( )
A.-2B.-1C.0D.1
【解析】因为f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,所以f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),
由f(x+2)=-f(x-2),得f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),
所以f(8)=f(0),f(9)=f
(1)=1,所以f(8)+f(9)=0+1=1.
命题点2 与函数奇、偶性相关的不等式问题
(3)(2017哈尔滨模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<
f的x的取值
范围是( )
A.B.C.D.
【答案】 A
【解析】因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
f(2x-1)<
f,所以|2x-1|<
,所以<
x<
.
(4)(2017兰州高台县联考)已知是上的偶函数,且在是减函数,若,则
不等式的解集是()
A.B.
C.D.
所以解得x<
−3或0<
3,即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3).
命题点3 已知函数的奇偶性求参数
(5)(2015全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.
【答案】 1
【解析】 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+)-xln(x+)=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=1.
(6)(2017山东省鄄城县月考)已知是奇函数,则的值为()
A.B.C.D.不能确定
(1)(2017河北省衡水中学三模)已知是上的奇函数,则的值为()
【解析】因为是上的奇函数,所以,得,.
.故选A.
(2)(2017四川三诊)已知函数,不等式(其中)的解集是()
A.B
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