浅谈 空间上的幂等算子文档格式.docx

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Keywords:

idempotent;

idempotentoperator;

space;

spectrumofoperator;

引言

幂等元是代数中的一个重要概念，也是研究代数结构的重要工具，如在研究线性空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幂等元的应用，幂等算子作为特殊的幂等元在算子理论中是最基本的一类算子。

借助于幂等算子有些问题会得到简化，算子谱投影、谱分解等一系列理论都建立在幂等算子的基础上。

近年来，研究幂等算子问题是一个比较活跃的领域并得到了许多结果，本文仅将空间中的幂等算子一些结论推广到空间，并在前人的基础上讨论了空间中幂等算子的一些基本性质及定理，且经过推理进一步得到一个算子成为幂等算子的充要条件及应用。

一﹑基本概念

定义1.设是阶矩阵，若,则称为幂等矩阵；

一般地，把满足（）的矩阵叫做次幂等矩阵。

定义2.设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量,有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足：

1），且等价于；

2）其中为任意实（复）数；

3），，，

则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。

完备的赋范线性空间称为空间。

定义3.设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对任何，，及数，成立

，

则称为到中的线性算子。

定义4.设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性算子，如果存在常数，使对所有，有

则称是到中的有界线性算子，当=时，称为到中的有界线性算子，简称为有界算子。

定义5.设是空间上的有界线性算子。

如果=,则称是（X，）上的幂等算子。

一般地，把满足（）的算子叫做次幂等算子。

定义6.设是复线性空间，如果对中任何两个向量,,有一复数与之对应，并且满足下列条件：

（1），且等价于，；

（2），为复数；

（3），

则称为与的内积，称为内积空间。

若按范数完备，则称为空间。

定义7.设是空间到空间中的有界线性算子，存在唯一的，使对任何及，成立

则称算子为的伴随算子。

定义8.设是空间到空间中的有界线性算子，若，则称算子为的自伴算子。

定义9.设是空间到空间中的自伴算子，如果，即

，

则称是正算子。

定义10.设是空间，是的闭子空间，可以唯一地表示成

称是在子空间上的正交投影，简称投影。

利用投影，可以定义到上的映射如下：

对任一，令

其中是在上的投影，称为到上的投影算子。

对算子，如果它的范数1，则称为是压缩的，如果是的一个子空间，则表示的正交补。

定义11.设为空间上的有界线性算子，我们称={}.为的零空间，=为的值域。

若是双射，这时可以定义从到中的算子：

，当。

称为的逆算子。

定义12.如果两个幂等算子，满足，则称左垂直或右垂直。

定义13.如果幂等算子左垂直并且也右垂直幂等算子，则称与垂直，记为

。

定义14.对的子空间，若，则称为的不变子空间。

二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性

设是一无限维复可分的空间，表示上的所有有界线性算子。

幂等算子的全体是相似不变的.即如果，并且是可逆的，则仍是幂等的。

证明：

由于，所以是幂等的。

通过上面的论述可以看出，如果是一幂等算子，则一定存在一个可逆算子，使得是一个正交投影算子。

在空间分解=的条件下，具有如下的算子矩阵形式:

其中是从到的有界线性算子。

注意到

=,

取=，显然是可逆的，且由此可以看出是一个正交投影算子。

首先，我们引入以下引理。

引理2.1设是空间上的有界线性算子，则是正算

子的充分必要条件是是上的正算子，是上的正算子，且存在一个从到上的压缩算子，使得==，即

（1）

引理2.2设是一个正算子，如果是算子的不变子空间，则是的约化子空间，也就是说，在空间分解下，具有如下的算子矩阵形式：

其中和是正算子。

下面将主要讨论两个幂等算子的线性组合在什么条件下仍保持幂等性，不妨设和是两个幂等算子。

由于幂等算子的全体是相似不变的，故我们可以设和中的一个为正交投影。

例如，假设是一个正交投影，当然，是一个正算子。

在这种情况下，根据引理2.1可知，和关于空间分解具有如下的算子矩阵形式

（2）

其中和是正算子，是一个从到上的压缩算子。

定理2.1设,是上的两个不同的非零幂等算子，其中是正交投影，如果，具有如

（2）的算子矩阵形式，同时表示形如

=（3）

的线性组合形式，其中，都不为零，则是幂等的当且仅当下列四种情况之一成立。

其中和都不为零。

证明:

必要性若是幂等的，则，计算得

（4）

右乘可得

（5）

下面分成两种情况进行讨论

情形1假设，则等式（4）可被简化为

由于和都不为零，于是,即为第种情况。

情形2假设，则由等式（5）得

可以看出是算子的不变子空间。

是一个正算子，由引理2.2可知，是算子的约化子空间，因此在空间分解=的条件下，和具有如下的算子矩阵形式

（6）

这里的和分别是与上的正交投影。

考虑到

以及，则我们可以得出

=

比较上式两边并通过计算可得

（7）

假设0，由于0，则由如上条件的第三个等式可得=1.由此根据假设条件0以及（7）式中的第一个等式可以看出，因是正交投影，于是有=1或=-1.如果=1，则=0，于是

因此由（7）中第二个等式可得,为第种情况。

另一方面，假设=0，则（7）可以简化为如下形式

（8）

根据假设条件0以及式子（8）中的第一个等式知，如果=0，则有

，于是=1，因此，为第种情况，如果，

则由假设及（8）中的第一个等式得

注意到以及，故或，如果，则有，于是=0与非零矛盾，如果，则有=，由（8）中第二个等式可得=0，即

这与假设和不相同矛盾。

充分性：

因若则有则，

==

即

=即是幂等的。

若，则=，，而

所以==，即是幂等的。

若，则=，其中，，

而=

所以===即是幂等的。

若，则其中，

证毕。

三、空间上的幂等算子

以下所论的幂等算子若无特别说明均指空间（，）上的幂等算子。

（一）幂等算子的性质及定理

性质1.设为次幂等算子，则的任意正整数次幂也为次幂等算子。

设为任意正整数，由，则。

性质2.设是幂等算子，把投影到={}上。

性质3.设是幂等算子，的零空间={}。

=-=0,所以，则，则有

所以={}

性质4.设是幂等算子，或者。

由算子范数的定义,=，所以，当=0时，

性质5.设是幂等算子，。

若，，令=则，，即

若，则存在使

性质6.设是幂等算子，若,则=0。

若则且,因是幂等算子，则=,由知=0，所以有=0。

性质7.设是幂等算子，对任意，存在使,且、是唯一的。

定理3.1：

设,是幂等算子，若则

若则对任意的都有=,取=,有===,取=,有==,而=,从而。

充分性显然。

定理3.2：

若是幂等算子，如果是幂等算子，则=0。

若是幂等算子，即,而

得，左乘得

再右乘得

即再由知=0。

定理3.3设是幂等算子，若,则==0。

由=得

左乘得

即因所以=0

下面证

由=得，

将式子两边左乘得

即

再右乘得,

即，由式子知。

定理3.4设，是两个幂等算子，则下列条件之一是成为幂等算子的充分条件并且当上述条件之一成立时，有

时

下证当1）成立时有

对有又因，所以从而，故

反之，若则故

2）时，对任意的有即

若则

故反之，若则故

时，对任意的有，

若有,从而,故反之，若

则故

时，对任意的有，,即

若则故.反之，若则故

注：

条件2）加上可逆可使1）成为必要条件。

时，对任意的有,即。

对任意的,因,为幂等算子，则有，即,所以有=。

定理3.5设,是两个幂等算子，则定理3.4中的条件1），2），3）是与同时成为幂等算子的充分条件。

若因,是两个幂等算子，则即是幂等算子。

，所以也是幂等的。

2）当时，对任意的有，即

即是幂等算子。

即是幂等算子。

时，对任意的有，，即

定理3.6设是幂等算子，且满足…则

…也是幂等算子，并且…=

根据定理3.4有，对任意的有，对…有…=,即…=

定理3.7设，…是一列幂等算子，并且满足……则…=也是幂等算子。

证明与定理3.6类似。

定理3.8设，…是一列幂等算子，并且满足……，则存在一个幂等算子。

由定理3.6知……是幂等的，所以令=……即可。

定理3.9设是幂等算子，如果或是幂等算子，则也是幂等算子。

如果是幂等算子，则

由定理2.5知所以由因此所以是幂等算子。

如果是幂等算子，由定理2.5知所以是幂等算子。

定理3.10若是幂等算子，且,则也是幂等的。

所以也是幂等的。

定理3.11若是幂等算子，则是幂等算子，且

因是幂等