新领航教育特供北京市石景山区届高三上学期期末考试 数学理试题Word文档格式.docx

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5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【解析】本程序为分段函数，当时，由得，，所以。

当时，由，得。

所以满足条件的有3个，选C.

6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）

A．60种B．63种C．65种D．66种

【解析】若四个数之和为奇数，则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数。

若1奇数3个偶数，则有种，若3个奇数1个偶数，则有，共有种，选A.

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）

【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.

8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：

①；

②；

　③；

④整数属于同一“类”的充要条件是“”．

其中，正确结论的个数为（　　　）．

　　　A．B．　　　　　　C．D．

【解析】因为，所以，①正确。

，所以②不正确。

③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。

整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；

若点，则的最大值为.

【答案】2；

6

【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形，由图象知。

其中，所以所以三角形的面积为，所以。

由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线截距最大，此时也最大，把代入得。

10．如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于．

【答案】

【解析】设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以。

11．在等比数列中，，则公比，

【解析】在等比数列中，所以，即。

所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。

12．在中，若，则边上的高等于．

【解析】由余弦定理得，即整理得，解得。

所以BC边上的高为。

13．已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为．

【答案】9

【解析】由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。

，即，所以，当且仅当三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9.

14.给出定义：

若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①的定义域是，值域是；

②点是的图像的对称中心，其中；

③函数的最小正周期为；

④函数在上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是．

【答案】

【解析】中，令，所以。

所以正确。

②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。

，所以周期为1，正确。

④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。

，所以正确的为

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

16．（本小题共14分）

如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

17．（本小题共13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.

（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.

18．（本小题共13分）

已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

19．（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）若直线不过点，求证：

直线的斜率互为相反数．

20．（本小题共13分）

定义：

如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．

（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的

“保三角形函数”，求的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?

（解题中可用以下数据:

）

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

7

8

答案

B

A

D

C

9

10

11

12

13

14

2；

（9题、11题第一空2分,第二空3分）

三、解答题共6小题，共80分．

（Ⅰ）因为，所以.

所以函数的定义域为……………2分

……………5分

……………7分

（Ⅱ）因为，所以……………9分

当时，即时，的最大值为；

……………11分

当时，即时，的最小值为.………13分

（Ⅰ）证明：

在△中，

.又.

由

.…………………………4分

（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……………………5分

．

设为平面的一个法向量，

因为

所以，

令，得.

所以为平面的一个法向量．……………………7分

设与平面所成角为．

则．

所以与平面所成角的正弦值为．…………………9分

（Ⅲ）设,则

…………………12分

当时,的最小值是．

即为中点时,的长度最小,最小值为．…………………14分

记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有

且相互独立.

（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

.…………………3分

（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有

＝，…………………5分

所以，.……………………7分

（Ⅲ）的所有可能取值为.……………………8分

所以，

，

=＝.……………………11分

分布列为：

……………………12分

所以，.………………13分

2．（本小题共13分）

（Ⅰ）…………………1分

，，所以切线的方程为

，即．…………………3分

（Ⅱ）令则

↗

最大值

↘

…………………6分

，所以且，，，

即函数的图像在直线的下方．…………………8分

（Ⅲ）令，.

令，，

则在上单调递增，在上单调递减，

当时，的最大值为.

所以若，则无零点；

若有零点，则．………………10分

若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.

若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：

直线与曲线有一个交点）.

若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；

又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.

综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点.…………………13分

（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，

又因为，所以，解得，

故椭圆方程为．…………………4分

（Ⅱ）将代入并整理得，

解得．…………………7分

（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．

设，，

则．…………………9分

所以直线的斜率互为相反数．…………………14分

（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。

因为，显然有，

由得

解得.

所以当时，

是数列的保三角形函数.…………………3分

（Ⅱ）由，得，

两式相减得，所以…………………5分

经检验，此通项公式满足.

显然,

因为,

所以是三角形数列.………ks5u……8分

（Ⅲ）,ks5u

所以单调递减.

由题意知，且,

由得，解得,

由得，解得.

即数列最多有26项.……ks5u……13分

【注：

若有其它解法，请酌情给分．】