春九年级数学下全册教案北师大版Word下载.docx
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二次项系数不为0.
例2一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小长方形,剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系表达式,并指出y是x的什么函数?
(2)当小长方形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是什么?
解:
(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144.∴y是x的二次函数.
(2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104.
∴相应的剩余部分的面积分别是132和104.
几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.
活动2跟踪训练
1.如果函数y=(k+2)xk2-2是y关于x的二次函数,则k的值为多少?
k=2
不要忽视k+2≠0.
2.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系式为y=-12x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).
3.已知,函数y=(m+1)xm2-3m-2+(m-1)x(m是常数).
(1)m为何值时,它是二次函数?
(2)m为何值时,它是一次函数?
注意②要分情况讨论.
(1)m=4.
(2)m=-1或m=3±
172或m=3±
212.
活动3课堂小结
学生试述:
这节课你学到了些什么?
2.2二次函数的图象与性质
第1课时二次函数y=ax2的图象与性质
1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质.(重难点)
2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数形的结合与转化.
阅读教材P32~35,完成预习内容.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0),当a>
0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;
当a
(二)自学反馈
在同一坐标系中画出函数y=x2、y=12x2和y=2x2的图象,并根据函数图象回答下列问题.
略.
(1)观察上述图象的特征:
形状是抛物线,开口向上,图象关于y轴对称,其顶点坐标是(0,0),其顶点是最低点(最高点或最低点).
(2)找出上述三条抛物线的异同:
开口向上,关于y轴对称,顶点坐标为(0,0).
可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.
例1函数y=2x2的图象是抛物线,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口方向是向上.
例2已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?
求这个最低点;
当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?
最大值为多少?
当x为何值时,y随x的增大而减小?
(1)由题意,得m2+m-4=2,m+2≠0.解得m=2或m=-3,m≠-2.
∴当m=2或m=-3时,原函数为二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,
∴m+2>
0,即m>
-2.∴只能取m=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),
∴当x>
0时,y随x的增大而增大.
(3)若函数有最大值,则抛物线开口向下,
∴m+2∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标,其顶点坐标为(0,0),∴当m=-3时,函数有最大值为0.
0时,y随x的增大而减小.
要结合图象来分析完成此题.
1.二次函数y=-2x2,当x1>
x2>
0,则y1与y2的关系是y1要结合图象分析解题.
2.当m=-2时,抛物线y=(m-1)xm2+m开口向下,对称轴为y轴,当x0时,y随x的增大而减小.
二次项系数a是决定开口方向和开口大小的,同时根据开口方向也可以判断a的正负.
3.已知函数y=ax2经过点(1,2).
(1)求a的值;
(2)当x解:
(1)a=2;
(2)当x活动3课堂小结
第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质
1.会作函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们的异同.(重点)
2.理解a、c对二次函数图象的影响,能正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(重难点)
3.了解抛物线y=ax2上下平移规律.(重点)
阅读教材P35~36,完成预习内容.
一般地,抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴,顶点是(0,c),当a>
0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
1.在抛物线y=x2-4上的一个点是(C)
A.(4,4)B.(1,-4)
C.(2,0)D.(0,4)
2.画出二次函数y=x2-1、y=x2和y=x2+1的图象,并观察图象有哪些异同?
从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找.
例1抛物线y=-5x2+3是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位得到的.
解这类题,必须根据二次函数y=ax2+c的图象与性质来解,a值确定抛物线的形状大小及开口方向,c值确定顶点的位置.
例2抛物线y=ax2与y=ax2±
c(c>
0)有什么关系?
①抛物线y=ax2±
c与y=ax2的形状完全相同,只是位置不同.
②抛物线y=ax2――→向上平移c个单位y=ax2+c,抛物线y=ax2――→向下平移c个单位y=ax2-c.
1.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(D)
2.二次函数y=-2x2+6图象的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,6),当x活动3课堂小结
1.本节课所学的知识:
函数y=ax2+c的图象与性质以及抛物线y=ax2上下平移规律.
2.所学的思想方法:
图象法、数形结合.
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象.(重点)
2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(重难点)
3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.(重点)
阅读教材P37~38,完成预习内容.
1.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,顶点不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h、k的值来决定:
当h>
0时,表明将抛物线y=ax2向右平移h个单位;
当k2.二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h,当a>
0时,开口向上,此时二次函数有最小值,当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小;
1.函数y=4(x+1)2-2的图象是由函数y=4x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的.
2.抛物线y=-2(x-1)2-3的开口方向是向下,其顶点坐标是(1,-3),对称轴是直线x=1,当x>
1时,函数值y随自变量x的值的增大而减小.
例1填写下表:
解析式开口方向对称轴顶点坐标
y=-5x2向下y轴(0,0)
y=12x2+5
向上y轴(0,5)
y=-3(x+4)2向下直线x=-4(-4,0)
y=4(x+2)2-7向上直线x=-2(-2,-7)
例2已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后,又沿y轴向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.
抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为(-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位,向下平移2个单位而得到的,所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为(-4,-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.
抛物线平移不改变形状及大小,所以a值不变,平移时抓住关键点:
顶点的变化.
1.将抛物线y=-3x2向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到的抛物线解析式是y=-3(x-2)2+5.
抛物线的移动主要看顶点位置的移动.
2.若直线y=3x+m经过第一、三、四象限,则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在第二象限.
此题为一次函数与二次函数简单的综合题,要注意它们的图象与性质的区别.
3.已知A(1,y1)、B(-12,y2)、C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2+k(a>
0)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是y1>
y3>
y2.
1.本节所学的知识:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象画法及其性质的总结;
平移的规律.
2.所用的思想方法:
从特殊到一般.
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.(重点)
2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.(重难点)
3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值;
能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.(重难点)
阅读教材P39~40,完成预习内容.
用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,则h=-b2a,k=4ac-b24a.则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a),对称轴是直线x=-b2a,当x=-b2a时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值,当a>
0时,函数y有最小值,当a
(二)自学反馈
求二次函数y=2x2+4x-1顶点的坐标,对称轴,最值,并画出其函数图象.
顶点坐标为(-1,-3),对称轴是直线x=-1,当x=-1时,y有最小值-3,图略.
先将此函数表达式化成顶点式,再解其他问题,在画函数图象时,要在顶点的两边对称取点,画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.
例将下列二次函数写成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向,顶点坐标,对称轴.
(1)y=12x2-6x+21;
(2)y=-2x2-12x-22.
(1)y=12x2-6x+21=12(x2-12x)+21=12(x2-12x+36-36)+21=12(x-6)2+3.
∴此抛物线的开口向上,顶点坐标为(6,3),对称轴是直线x=6.
(2)y=-2x2-12x-22=-2(x2+6x)-22=-2(x2+6x+9-9)-22=-2(x+3)2-4.
∴此抛物线的开口向下,顶点坐标为(-3,-4),对称轴是直线x=-3.
第
(2)小题注意h值的符号;
配方法是数学里的一个重要方法,需多加练习,熟练掌握;
抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.
1.抛物线y=-x2+4x-7的开口方向是向下,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,-3).当x=2时,函数y
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- 九年级 数学 下全册 教案 北师大