届高考数学理二轮专题复习限时规范训练第一部分 专题五 立体几何 153 Word版含答案Word文档格式.docx
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||=2,||=4,
cos〈,〉==,
故tan〈,〉=.
3.如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为( )
A.-B.-
选D.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.
过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.
如图,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).
因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).
故=(-4,2,2),=(2,0,1).
所以cos〈,〉===-.
设异面直线PC,AD所成的角为θ,
则cosθ=|cos〈,〉|=.
4.(2017·
山西四市联考)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.S1=S2=S3
B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
D.S3=S2且S3≠S1
选D.如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以S1=×
2×
2=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E,F分别为OA,BC的中点)全等,所以S2=×
=.
三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别为AB,OC的中点)全等,所以S3=×
所以S2=S3且S1≠S3,故选D.
5.如图,点E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN的条数有( )
A.0条B.1条
C.2条D.无数条
选B.假设存在满足条件的直线MN,如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则D1(2,0,2),E(1,2,0),设M(x,y,z),=m(0<m<1),∴(x-2,y,z-2)=m(-1,2,-2),x=2-m,y=2m,z=2-2m,∴M(2-m,2m,2-2m),同理,若设=n(0<n<1),可得N(2n,2n,2-n),=(m+2n-2,2n-2m,2m-n).又∵MN⊥平面ABCD.
∴解得即存在满足条件的直线MN,且只有一条.
6.(2017·
安徽合肥模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下四个命题:
①异面直线C1P和CB1所成的角为定值;
②二面角PBC1D的大小为定值;
③三棱锥DBPC1的体积为定值;
④直线CP与平面ABC1D1所成的角为定值.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
选C.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1).
设P(t,0,1-t),0≤t≤1.
①中,=(t,-1,-t),=(1,0,1),因为·
=0,所以C1P⊥CB1,故①对;
②中,因为D1A∥C1B,所以平面PBC1即平面ABC1D1,两平面都固定,所以其二面角为定值,故②对;
③中,因为点P到直线BC1的距离AB=1,所以V三棱锥DBPC1=×
×
CB1=,故③对;
④中,=(t,-1,1-t),易知平面ABC1D1的一个法向量为=(1,0,1),所以cos〈,〉不是定值,故④错误.
二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
7.(2017·
江苏南京三模)如图,三棱锥ABCD的棱长全相等,点E为AD的中点,则直线CE与BD所成角的余弦值为________.
设AB=1,则·
(-)=·
(-)=2-·
-·
+·
=-cos60°
-cos60°
+cos60°
∴cos〈,〉===.
答案:
8.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BC⊥AC,∠BAC=,AC=4,点M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q在线段CA1上,且A1Q=3QC,则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为________.
由题意,以C为原点,以AC边所在直线为x轴,以BC边所在直线为y轴,以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设棱柱的高为a,由∠BAC=,AC=4,得BC=4,所以A(4,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),A1(4,0,a),M,
P,Q.所以=(1,2,0),=(4,0,0).设异面直线QP与CA所成的角为θ,所以|cosθ|===.由sin2θ+cos2θ=1得,sin2θ=,所以sinθ=±
,因为异面直线所成角的正弦值为正,所以sinθ=即为所求.
9.(2017·
河北衡水模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别在AB1,BC1上,且AM=AB1,BN=BC1,则下列结论:
①AA1⊥MN;
②A1C1∥MN;
③MN∥平面A1B1C1D1;
④BD1⊥MN.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
如图,建立以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系.令正方体的棱长为3,可得D(0,0,0),A(0,3,0),A1(0,3,3),C1(3,0,3),D1(0,0,3),B(3,3,0),M(1,3,1),N(3,2,1).
①中,=(0,0,3),=(2,-1,0),因为·
=0,所以①正确;
②中,=(3,-3,0),与不成线性关系,所以②错;
③中,易知平面A1B1C1D1的一个法向量为=(0,0,3),而·
=0,且MN⊄平面A1B1C1D1,所以③正确;
④中,=(-3,-3,3),因为·
≠0,所以④错误.
①③
三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分)
10.(2017·
高考全国卷Ⅱ)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为45°
,求二面角MABD的余弦值.
解:
取PA中点F,连接EF,BF,CE.
∵E,F为PD,PA中点,∴EF为△PAD的中位线,
∴EFAD.
又∵∠BAD=∠ABC=90°
,∴BC∥AD.
又∵AB=BC=AD,∴BCAD,∴EFBC.
∴四边形BCEF为平行四边形,∴CE∥BF.
又∵BF⊂面PAB,∴CE∥面PAB.
(2)以AD中点O为原点,如图建立空间直角坐标系.
设AB=BC=1,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,).
M在底面ABCD上的投影为M′,∴MM′⊥BM′.又BM与底面ABCD所成角为45°
,
∴∠MBM′=45°
,∴△MBM′为等腰直角三角形.
∵△POC为直角三角形,且=,∴∠PCO=60°
.
设|MM′|=a,|CM′|=a,|OM′|=1-a.
∴M′.=,
|BM′|===a⇒a=.
∴|OM′|=1-a=1-.
∴M′,M
=,=(1,0,0).
设平面ABM的法向量m=(0,y1,z1).
y1+z1=0,∴m=(0,-,2)
=(0,2,0),=(1,0,0).
设平面ABD的法向量为n=(0,0,z2),n=(0,0,1).
∴cos〈m,n〉====.
∴二面角MABD的余弦值为.
11.如图所示的几何体中,ABCA1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°
(1)若AA1=AC,求证:
AC1⊥平面A1B1CD.
(2)若CD=2,AA1=λAC,二面角CA1DC1的余弦值为,求三棱锥C1A1CD的体积.
若AA1=AC,则四边形ACC1A1为正方形,
则AC1⊥A1C,
因为AD=2CD,∠ADC=60°
所以△ACD为直角三角形,则AC⊥CD,
因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥CD,
又AA1∩AC=A,
所以CD⊥平面ACC1A1,则CD⊥AC1,
因为A1C∩CD=C,所以AC1⊥平面A1B1CD.
(2)若CD=2,因为∠ADC=60°
,所以AC=2,
则AA1=λAC=2λ,
建立以C为坐标原点,CD,CA,CC1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),D(2,0,0,),A(0,2,0),C1(0,0,2λ),A1(0,2,2λ).
则=(2,-2,-2λ),=(2,0,0),=(0,2,0).
设平面CA1D的一个法向量为m=(x,y,z).
则m·
=2x-2y-2λz=0,m·
=2x=0,
则x=0,y=-λz,
令z=1,则y=-λ,则m=(0,-λ,1).
设平面A1DC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
n·
=2x1-2y1-2λz1=0,
=2y1=0,
则y1=0,2x1-2λz1=0,令z1=1,则x1=λ,
则n=(λ,0,1),
因为二面角CA1DC1的余弦值为.
所以cos〈m,n〉===.
即(1+λ2)(1+3λ2)=8,得λ=1,即AA1=AC,
则三棱锥C1A1CD的体积
V=VDA1C1C=CD·
AC·
AA1
=×
2=4.
12.(2017·
浙江宁波模拟)如图
(1),在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°
,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥DC,如图
(2).
(1)求证:
A1E⊥平面BCDE.
(2)求二面角EA1BC的余弦值.
(3)判断在线段EB上是否存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC?
若存在,求出的值;
若不存在,说明理由.
∵DE⊥BE,BE∥DC,∴DE⊥DC.
又∵AD1⊥DC,A1D∩DE=D,∴DC⊥平面A1DE,
∴DC⊥A1E.
又∵A1E⊥DE,DC∩DE=D,∴A1E⊥平面BCDE.
(2)∵A1E⊥平面BCDE,DE⊥BE,∴以EB,ED,EA1所在直线分别为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系.易知DE=2,则A1(0,0,2),B(2,0
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