小学数学奥数基础教程(六年级)--13Word格式.doc
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例2右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。
如果一面一面去数,那么虽然可以得到答案,但太麻烦,而且容易出错。
仔细观察会发现,这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。
如上图所示,可求得表面积为
(9+7+8)×
2=48(厘米2)。
例3右图是由22个小正方体组成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体?
由两个小正方体组成的长方体有多少个?
正方体只可能有两种:
由1个小正方体构成的正方体,有22个;
由8个小正方体构成的2×
2×
2的正方体,有4个。
所以共有正方体22+4=26(个)。
由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)。
例4有一个棱长为5厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积。
由于正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。
我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。
如右上图所示,八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。
由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接,减少了表面积4厘米2,所以总的表面积为
(2×
6)×
8+(1×
1×
12-4×
12=216(厘米2)。
例5右图是由120块小立方体构成的4×
5×
6的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块?
一个长方体有8个角、12条棱、6个面,角上的8个小立方体三面涂有红色,在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色,在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色,不在面上的小立方体没有涂上红色。
根据上面的分析得到:
三面涂有红色的小立方体有8块;
两面涂有红色的小立方体,因为每条棱上要去掉两头的2块,故有[(4-2)+(5-2)+(6-2)]×
4=36(块);
一面涂有红色的小立方体,因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体,故有
[(4-2)×
(5-2)+(4-2)×
(6-2)+(5-2)×
(6-2)]×
2=52(块)。
一般地,当a,b,c都不小于2时,对于a×
b×
c的立方体:
两面涂有红色的小立方体的块数是:
[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×
4;
一面涂有红色的小立方体的块数是:
[(a-2)×
(b-2)+(a-2)×
(c-2)+(b-2)×
(c-2)]×
2;
没有被涂上红色的小立方体的块数是:
(a-2)×
(b-2)×
(c-2)。
例6给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法?
(两种涂法,经过翻动能使各种颜色的位置相同,认为是相同的涂法。
)
根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。
(1)两个红色面相对。
此时,有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。
(2)两个红色面相邻。
此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时,按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法。
所以共有6种不同涂法。
练习13
1.下页左上图中共有多少个面?
2.有30个边长为1米的正方体,在地面上摆成右上图的形式,然后把露出的表面涂成红色。
求被涂成红色的表面积。
3.有一个正方体,红、黄、蓝色的面各有两面。
在这个正方体中,有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点,这种顶点最多有几个?
最少有几个?
4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体,其中一点红色都没有的小立方体只有3块。
求原来长方体的体积。
5.将一个5×
5的立方体表面全部涂上红色,再将其分割成1×
1的小立方体,取出全部至少有一个面是红色的小立方体,组成表面全部是红色的长方体。
那么,可组成的长方体的体积最大是多少?
6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形(见左下图)。
求挖洞后木块的体积及表面积。
7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形(右上图)。
用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形染不同的颜色,那么,用红色染的正方形最多有多少个?
答案与提示 练习13
1.9个面,21条棱。
2.56米2。
解:
4×
4+(1+2+3+4)×
4=56(米2)。
3.8个;
2个。
提示:
颜色相同的面两两相对时有8个;
颜色相同的面两两相邻时有2个。
4.45厘米3。
由3块小立方体构成的长方体体积为1×
3厘米3,故原来长方体的体积为
(1+2)×
(1+2)×
(3+2)=45(厘米3)。
5.96。
至少有一个面是红色的小立方体有53-33=98(个),其中三面红的8个,两面红的36个,一面红的54个。
可以组成4×
6的表面全是红色的长方体,体积是4×
6=96。
6.20分米3;
72分米3。
7.22个。
一个面最多有5个方格可染成红色(见左下图)。
因为染有5个红色方格的面不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成5个红色方格。
其余四个面中,每个面的四个角上的方格不能再染成红色,至多能染4个红色方格(见上中图)。
因为染有4个红色方格的面也不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成4个红色方格。
最后剩下两个相对的面,每个面最多可以染2个红色方格(见右上图)。
所以,红色方格最多有5×
2+4×
2+2×
2=22(个)。
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