大学物理质点运动定律习题思考题及答案word精品文档15页Word下载.docx
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在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子,假设其质量为dm,可知:
,分析这dm的绳子的受力情况,因为它做的是圆周运动,所以我们可列出:
距转轴为r处绳中的张力T(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力,所以两边积分:
2-3.已知一质量为的质点在轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离的平方成反比,即,是比例常数.设质点在时的速度为零,求质点在处的速度的大小。
由题意和牛顿第二定律可得:
再采取分离变量法可得:
,
两边同时取积分,则:
所以:
2-4.一质量为的质点,在平面上运动,受到外力(SI)的作用,时,它的初速度为(SI),求时质点的速度及受到的法向力.
,代入f与v,并两边积分,,
速度是方向,也就是切向的,所以法向的力是方向的,则
2-5.如图,用质量为的板车运载一质量为的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为,车与路面间的滚动摩擦可不计,计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动?
根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使板车与木箱具有相同的加速度,所以列式:
可得:
2-6.如图所示一倾角为的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,两者间摩擦系数为。
为使木块相对斜面静止,求斜面加速度的范围。
在斜面具有不同的加速度的时候,木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,由题意,可得:
(1)当木块具有向下滑动的趋势时(见图a),列式为:
可计算得到:
此时的
(2)当木快具有向上滑动的趋势时(见图b),列式为:
所以
2-7.一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。
放有一质量为m的物块,如图所示。
设各面间的摩擦力均可忽略不计。
试按下列三种方法:
(1)用牛顿定理及约束方程;
(2)用牛顿定律及运动叠加原理;
(3)用非惯性系中力学定律;
求解三角形物块的加速度.
隔离物块和斜面体,画图分析力,列出方程,发现方程完备性不够,即未知数比方程数多,关键在于,M与m的运动有联系的,M沿地面运动,m沿斜面运动,这就是约束条件。
取地面作为参考系,则m的运动为:
(1)
(2)
M的运动方程为:
(3)
下面列出约束条件的方程:
取M作为参考系,设m在其中的相对加速度为,在x,y方向的分量分别为与,那么:
利用相对运动的公式,
于是:
即:
(4)
由
(1)
(2)(3)(4)联立,计算可得:
2-8.圆柱形容器内装有一定量的液体,若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动,试问稳定旋转时液面的形状如何?
受力分析如图
(2)
两式相比
当时所以
稳定旋转时液面是一个抛物面
由于旋转后成为立体,故方程变为【】
2-9.质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动,劈形物质量为,放置在光滑的水平面上,斜面倾角为,求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
隔离物块和斜面体,分析力,列出方程,发现方程完备性不够,即未知数比方程数多,关键在于,m1与m2的运动有联系的,m1沿地面运动,m2沿斜面运动,这就是约束条件。
取地面作为参考系,则m2的运动为:
m1的运动方程为:
取m1作为参考系,设m2在其中的相对加速度为,在x,y方向的分量分别为与,那么:
相互作用力N=
2-10.一小环套在光滑细杆上,细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动,角速度为,求:
小环平衡时距杆端点的距离.
根据题意,当小环能平衡时,其运动为绕Z轴的圆周运动,所以可列式:
所以,可得:
2-11.设质量为的带电微粒受到沿方向的电力,计算粒子在任一时刻的速度和位置,假定时,.其中为与时间无关的常数,、、、的单位分别为、、、.
根据题意和牛顿第二定律,可列式:
整理可得二阶微分方程:
。
令下面分c为正负再做进一步讨论。
当,可得:
一次求导,得到:
2-12.在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒,半径为,一小球紧靠圆筒内壁运动,摩擦系数为,在时,球的速率为,求任一时刻球的速率和运动路程。
解:
在法向上有而
在切向上有
由上面三个式子可得
思考题
2-1.质量为m的小球,放在光滑的木板和光滑的墙壁之间,并保持平衡,如图所示.设木板和墙壁之间的夹角为,当逐渐增大时,小球对木板的压力将怎样变化?
假设墙壁对小球的压力为N1,木板对小球的压力为N2。
由受力分析图可知:
所以当所以增大,小球对木板的压力为N2将减小;
同时:
所以增大,小球对墙壁的压力也减小。
2-2.质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上,滑块与桌面间的摩擦系数均为μ,系统在水平拉力F作用下匀速运动,如图所示.如突然撤消拉力,则刚撤消后瞬间,二者的加速度aA和aB分别为多少?
分别对A,B进行受力分析,由受力分析图可知:
所以
2-3.如图所示,用一斜向上的力(与水平成30°
角),将一重为G的木块压靠在竖直壁面上,如果不论用怎样大的力F,都不能使木块向上滑动,则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小为多少?
假设墙壁对木块的压力为N,由受力分析图可知:
整理上式,并且根据题意,如果不论用怎样大的力F,都不能使木块向上滑动,则说明:
即当此式中F无论为多大,总成立,则可得:
2-4.质量分别为和的滑块和,叠放在光滑水平桌面上,如图所示.、间静摩擦系数为,滑动摩擦系数为,系统原处于静止.今有一水平力作用于上,要使、不发生相对滑动,则应取什么范围?
根据题意,分别对A,B进行受力分析,要使A,B不发生相对滑动,必须使两者具有相同的加速度,所以列式:
2-5.如图,物体A、B质量相同,B在光滑水平桌面上.滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计,滑轮与其轴之间的摩擦也不计.系统无初速地释放,则物体A下落的加速度是多少?
则可计算得到:
2-6.如图所示,假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑,轨道是光滑的,在从A至C的下滑过程中,下面哪个说法是正确的?
(A)它的加速度大小不变,方向永远指向圆心。
(B)它的速率均匀增加。
(C)它的合外力大小变化,方向永远指向圆心。
(D)它的合外力大小不变。
(E)轨道支持力的大小不断增加。
在下滑过程中,物体做圆周运动。
并且v在增大,所以它既有法向加速度,又有切向加速度,A的说法不对;
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供,由于切线方向始终在改变,所以速率增加不均匀;
外力有重力和支持力,后者的大小和方向都在变化,所以合力的大小方向也在变化。
C,D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大,所以N也在增大,
则E的说法正确。
2-7.一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动,且圆环能以其竖直直径为轴转动.当圆环以一适当的恒定角速度转动,小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时,小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大?
根据题意,当小珠能相对于圆环平衡时,其运动为绕Z轴的圆周运动,假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ,可列式:
2-8.几个不同倾角的光滑斜面,有共同的底边,顶点也在同一竖直面上(如图所示).为使一物体(视为质点)从斜面上端由静止滑到下端的时间最短,则斜面的倾角应选
(A)60°
.(B)45°
.
(C)30°
.(D)15°
根据题意,假设底边长为s,斜面的倾角为θ,可列式:
当θ=45。
时,时间最短。
2-9.如图所示,小球A用轻弹簧与轻绳系住;
小球B用轻绳与系住,今剪断绳和绳,在刚剪断的瞬间,、球的加速度量值和方向是否相同?
不同。
对于a图,在剪断绳子的瞬间,弹簧的伸长没有变化,所以弹簧的拉力F不变,A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T,所以:
所以加速度大小为:
,方向为水平方向。
对于b图,在剪断绳子的瞬间,绳子拉力F变化,它将提供物体做圆周运动,的加速度应该有切向加速度和法向加速度。
,方向为与绳垂直的切线方向。
2-10.两质量均为的小球穿在一光滑圆环上,并由一轻绳相连,环竖直固定放置,在图中位置由静止释放,试问释放瞬间绳上张力为多少?
在释放瞬间上面的小球作水平运动,下面小球作竖直运动,两者加速度大小相等,方向互相垂直。
(1)
两式联立消去
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——罗曼·
罗兰
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