学年高中数学人教A版必修五 章末综合测评1 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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sinA,∴<
π.②
由①②得,<
【答案】C
3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为( )【导学号:
05920080】
A.(8,10)B.(2,)
C.(2,10)D.(,8)
【解析】 设1,3,a所对的角分别为∠C、∠B、∠A,由余弦定理知a2=12+32-2×
3cosA<
12+32=10,
32=1+a2-2×
acosB<
1+a2,
∴2<
a<
【答案】 B
4.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )
A.2B.8
【解析】∵===2R=8,
∴sinC=,∴S△ABC=absinC===.
【答案】 C
5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为( )
A.B.C.D.
【解析】p∥q⇒(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
即c2-a2-b2+ab=0⇒==cosC.
∴C=.
6.在△ABC中,若sinBsinC=cos2,则下面等式一定成立的是( )
A.A=BB.A=C
C.B=CD.A=B=C
【解析】由sinBsinC=cos2=⇒2sinBsinC=1+cosA⇒cos(B-C)-cos(B+C)=1+cosA.
又cos(B+C)=-cosA⇒cos(B-C)=1,∴B-C=0,即B=C.
7.一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB是矩形,且α=50°
,β=70°
,AC=90mm,BC=150mm,则DE的长等于( )
图1
A.210mmB.200mm
C.198mmD.171mm
【解析】∠ACB=70°
+50°
=120°
,在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长,即为DE的长.
8.(2014·
江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.C.D.3
【解析】∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②
由①②得-ab+6=0,即ab=6.
∴S△ABC=absinC=×
6×
=.
9.(2015·
山东省实验中学期末考试)已知在△ABC中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a+b=c+,即2a2b+2ab2=ab2+ac2-a3+a2b+bc2-b3,∴a2b+ab2+a3+b3=ac2+bc2,∴(a+b)(a2+b2)=(a+b)c2,∴a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形,故选D.
【答案】 D
10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】由已知得a2=b2+bc+c2,
∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA==-,
又0°
<
180°
,∴A=120°
11.在△ABC中,A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分,则cosA等于( )
A.B.C.D.0
【解析】∵CD为∠ACB的平分线,
∴D到AC与D到BC的距离相等.
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等.
∵S△ACD∶S△BCD=3∶2,∴=.
由正弦定理=,又∵B=2A,
∴=,即=,∴cosA=.
12.如图2,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°
,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°
,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ( )
图2
A.2+1B.2-1
C.-1D.+1
【解析】在△ABC中,BC=
==50(-),
在△BCD中,sin∠BDC=
==-1,
又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.(2015·
黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为.
【解析】∵cosC=,且∠C为钝角.
∴cosC<
0,∴a2+b2-c2<
0.故a2+b2<
c2.
【答案】a2+b2<
c2
14.(2013·
安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.
【解析】由3sinA=5sinB,得3a=5b.又因为b+c=2a,
所以a=b,c=b,
所以cosC===-.因为C∈(0,π),所以C=.
【答案】
15.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.
【解析】 设A=θ⇒B=2θ.
由正弦定理得=,
∴=1⇒=2.
由锐角△ABC得0°
2θ<
⇒0°
θ<
45°
-3θ<
⇒30°
60°
,
故30°
⇒<
cosθ<
∴AC=2cosθ∈(,).
【答案】 2 (,)
16.(2014·
全国卷Ⅰ)如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°
,C点的仰角∠CAB=45°
以及∠MAC=75°
;
从C点测得∠MCA=60°
.已知山高BC=100m,则山高MN=m.
图3
【解析】根据图示,AC=100m.
在△MAC中,∠CMA=180°
-75°
-60°
=45°
由正弦定理得=⇒AM=100m.
在△AMN中,=sin60°
∴MN=100×
=150(m).
【答案】150
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
【解】
(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.
故sinB=sinA,所以=.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cosB=.
由
(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cosB>
0,
故cosB=,所以B=45°
18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.
【解】
(1)∵cosB=>
0,且0<
B<
π,
∴sinB==.
sinA===.
(2)∵S△ABC=acsinB=4,
∴×
2×
c×
=4,∴c=5.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×
5×
=17,∴b=.
19.(本小题满分12分)(2015·
安徽高考)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
【解】设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×
3×
cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sinB===,
由题设知0<
所以cosB===.
在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B,故由正弦定理得AD====.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°
方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°
,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示,
设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得cosβ===-,
∴sinβ=.
而sinα=sin(β-60°
)=sinβcos60°
-sin60°
cosβ=×
+×
在△ACD中,=,
∴AD==15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21.(本小题满分12分)(2016·
洛阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值.【导学号:
05920081】
【解】
(1)∵cos2C+2cosC+2=0,
∴2cos2C+2cosC+1=0,即(cosC+1)2=0,
∴cosC=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,
∴c=a,即sinC=sinA,
∴sinA=sinC=.
∵S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB,
∴absinC=sinAsinB,
∴sinC=,由正弦定理得
2sinC=,解得c=1.
22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=msinx+cosx(m>
0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)若△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°
,c=3,求△ABC的面积.
【解】
(1)由题意,f(x)的最大值为,所以=2.
又m>
0,所以m=,f(x)=2sin.
令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R,
由题意,得2R===2.
化简f+f=4sinAsinB,
得sinA+sinB=2sinAsinB.
由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab.①
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0.②
将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,
解得ab=3或ab=-(舍去),
故S△ABC=absinC=.
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