高一数学 函数奇偶性知识点归纳Word格式文档下载.docx
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奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征
一般地:
奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
即:
f(x)为奇函数<
=>
f(x)的图像关于原点对称 点(x,y)→(-x,-y)
偶函数的图像关于轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于轴对称,那么这个函数是偶函数。
f(x)为偶函数<
f(x)的图像关于Y轴对称 点(x,y)→(-x,y)
奇函数对称区间上的单调性相同(例:
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
)
偶函数对称区间上的单调性相反(例:
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减)。
2.函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M.
(2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.
五、关于函数奇偶性的简单应用
1、函数的对称性
如果函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线⑮______对称.
一般的,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的对称轴方程是⑯______.
两个函数与的图象关于直线对称.
2、函数的周期性
函数的周期性的定义:
设函数y=f(x),x∈D,若存在非零常数T,使得对任意的x∈D都有⑰________,则函数
f(x)为周期函数,T为y=f(x)的一个周期.
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
(3)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈N+)也一定是f(x)的周期.
若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=-(a≠0),则函数f(x)是周期函数,它的一个周期是⑱________.若,则函数的图象关于点对称;
六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个:
定义域的对称性和数量关系。
判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法:
(1)、利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、相等,判断步骤如下:
1、若定义域不对称,则为非奇非偶函数;
若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能,到底怎样,取决于数量关系怎样成立?
若成立,则为偶函数;
若成立,则为奇函数;
若成立,则为既是奇函数也是偶函数;
若都不成立,则为非奇非偶函数。
2.讨论函数奇偶性时,注意定义域优先原则.
3.由奇偶函数的图象的对称性,只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质,就可得出函数在其
对称区间上的性质.
4.若T是f(x)的一个周期,则kT(k≠0,k∈Z)也是f(x)的周期.
5.
(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴,则函数f(x)是周期函数;
若函数f(x)具有奇偶性,又
有一条平行于y轴的对称轴,则函数f(x)是周期函数.
6.注意函数性质的逆向应用.
(2)、图像法:
f(x)为奇函数<
f(x)的图像关于原点对称 点(x,y)→(-x,-y)
(3)、特值法:
根据函数奇偶性定义,在定义域内取特殊值自变量,计算后根据因变量的关系判断
函数奇偶性。
(4)、性质法
(5)、函数奇、偶性的运算:
利用已知函数的奇偶性及以下准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集):
1)若f(x)与g(x)都是奇函数,则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上,
f(x)+g(x),f(x)-g(x)都是奇函数,f(x)·
g(x)与为偶函数.
2)若f(x)与g(x)都是偶函数,则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上,
f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)·
g(x),都是偶函数.
3)奇函数与偶函数的和(差)既非奇函数也非偶函数;
4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数,另一个为偶函数,则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上,
f(x)·
g(x),都为奇函数.
3.若y=f(x)为奇函数,且y=f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0.
性质
1、偶函数没有反函数(偶函数在定义域内非单调函数),奇函数的反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、对于F(x)=f[g(x)]:
若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数,则F(x)是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数,则F(x)是偶函数
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
案例分析:
考点一、判断函数的奇偶性
例1.判断下列函数是否是偶函数.
(1)
(2)
(3)f(x)=x+x3+x5;
(4)f(x)=x2+1;
(5)f(x)=x+1;
(6)f(x)=x2,x∈[–1,3];
(7)f(x)=0.
变式训练
1、判断下列函数的是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x+x3;
(2)f(x)=–x2;
(3)h(x)=x3+1;
(4)k(x)=,x[–1,2];
(5)f(x)=(x+1)(x–1);
(6)g(x)=x(x+1);
(7)h(x)=x+;
(8)k(x)=.
2、下面四个结论中,正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)=0;
③偶函数的图像关于y轴对称;
④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).
A.1B.2C.3D.4
考点二、分段函数的奇偶性
解析:
分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性,是否符合奇偶性的定义.
例1、判断下列函数的奇偶性:
①
②
分析:
先验证函数定义域的对称性,再考察.
解:
(1)>0且>=<<,它具有对称性.因为,所以是偶函数,不是奇函数.
(2)当>0时,-<0,于是
当<0时,->0,于是
综上可知,在R-∪R+上,是奇函数.
例2、判断函数f(x)=的奇偶性.
思路点拨:
分x>0或x<0两种情况计算f(-x),然后再判断f(-x)与f(x)的关系.
解:
函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).
②当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1
=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,
都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.也可根据图象判定.
1、如果函数f(x)=,其奇偶性怎样?
当x>0时,f(x)=x3-3x2+1,-x<0,f(-x)=-(-x)3-3(-x)2+1=x3-3x2+1=f(x).
当x<0时,f(x)=-x3-3x2+1.-x>0,f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=f(x).
综上可得f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数.
考点二、利用奇偶函数图像的对称性质
由偶函数的定义可得:
偶函数的图像关于y轴对称,反过来,若一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
由奇函数的定义可得:
奇函数的图像关于原点对称,反过来,若一个函数的图像关于原点对称,则这个
函数是奇函数
例1、设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是
例2.如图,给出了奇函数y=f(x)的局总图象,求f(–4).
例3.如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f
(1)与f(3)的大小.
1.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a))D.(a,f())
∵f(x)是奇函数,∴f(-a)=-f(a),即自变量取-a时,函数值为-f(a),故图象必过点(-a,-f(a)).
答案:
C
2.若函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有两个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.2B.1C.0D.-1
∵偶函数图象关于y轴对称,∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称,若一根为x1,则另一根必为-x1,故f(x)=0的所有实根之和为0.
3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( )
A.-2B.2C.-98D.98
∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f[4+(-1)]=f(-1).
又∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f
(1)=-2×
12=-2,∴f(7)=-2,故选A.
答案:
A
考点三、根据奇偶性求函数解析式
例3、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=2x2+3x-1,求f(x)的解析式.
由奇函数的定义知f(0)=0,再由f(-x)=-f(x)计算当x<
0时f(x)的表达式,构成定义在R上的奇函数.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵当x<
0时,-x>
0,∴f(x)=-f(-x)=-2x2+3x+1.
又∵奇函数f(x)在原点的定义,f(0)=0.
∴f(x)=
1、设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)=( )
A.-3B.-1C.1D.3
[解析] 本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法.f
(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3,
故选A.
2、已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+),求当x∈
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