刚性微分方程组隐式龙格库塔方法..docx
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毕业设计(论文)
毕业设计
题目:
刚性系统的隐式RK方法
学院:
数理学院
专业名称:
信息与计算科学
学号:
201241210127
学生姓名:
丁楠
指导教师:
汪玉霞
2016年05月15日
摘要
本文主要介绍单步隐式Runge–Kutta方法,简要的介绍了Gauss型隐式Runge–Kutta方法、Radau型隐式Runge–Kutta方法和Lobatto型隐式Runge–Kutta方法。
并利用这些基本的隐式Runge–Kutta方法来对刚性方程组进行数值求解,并将隐式Runge–Kutta方法与显式经典Runge–Kutta方法求解的结果进行对比,说明两种数值解法的优缺点。
关键词:
刚性系统隐式Runge–Kutta方法单步方法Newton迭代法
Abstract
ThispapermainlyintroducestheImplicitRunge-KuttaMethodsandasimpledescriptionofGaussimplicitRunge-Kuttamethod,RadauimplicitRunge-KuttamethodandLobattoimplicitRunge-Kuttamethod.ThesebasicImplicitRunge-Kuttamethodsareusedtosolvethestiffequations.TheseimplicitRunge-KuttamethodsiarecomparedwiththeclassicalexplicitRunge-Kuttamethod.Thispaperexplaintheadvantagesanddisadvantagesofthetwokindofnumericalmethods.
Keywords:
StiffsystemImplicitRunge-KuttamethodOnestepmethodNewtoniterativemethod
目录
1.绪论 1
1.1刚性方程 1
1.2隐式RK方法的研究意义 2
1.3RK方法的研究现状 3
2.单步RK方法的收敛性和稳定性 5
2.1单步RK方法的收敛性 5
2.2单步RK方法的稳定性 6
3.三类隐式RK方法 8
3.1引言 8
3.2Gauss型隐式RK方法 9
3.3Radau型隐式RK方法 10
3.4Lobatto型隐式RK方法 11
4隐式RK方法的实现 13
4.1非线性系统的改进 13
4.2简化的Newton迭代法 13
5数值实验与结果分析 15
参考文献 18
附录 21
1.绪论
1.1刚性方程
对于一般的线性常系数系统
y'=Ay+φ(t)
A为m×m的矩阵,特征值为λi(i=1,2,⋯,m)。
定义1[23]若一个系统满足
(1)Reλi<0,i=1,2,⋯,m
(2)maxiReλiminiReλi=R≫1
其中R为刚性比,则这个系统称为刚性系统。
定义2[27]若线性系统
y'=Ayx∈0,T
或非线性系统
y'=f(x,y)x∈0,T
的矩阵A或Jacobi矩阵∂f∂y的特征值λi满足
max1≤i≤mReλi≫1
则其是刚性的。
定理1(解的存在性与唯一性)
(1)对于所有x,y∈D,函数fx,y是连续的;
(2)对于任何x,y,(x,y*)∈D,存在常数L,是函数满足
fx,y-f(x,y*)≤Ly-y*
则初值问题
y=fx,ya≤x≤bya=η
有唯一解。
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