全等三角形的应用多结论问题人教版含答案Word文档格式.docx
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∴BF∥CE;
③正确
④∵AD是△ABC的中线,
,④正确.
四个结论均正确,故选D.
试题难度:
三颗星知识点:
全等三角形的判定与性质
2.如图,在△ABC中,已知∠C=90°
AC=BC=4,D是AB的中点,点E,F分别在AC,BC边上运动(点E不与点A,C重合),且保持AE=CF,连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①四边形CEDF有可能成为正方形;
②△DFE是等腰直角三角形;
③四边形CEDF的面积是定值;
其中正确的结论是()
A.①③B.②③
C.①②D.①②③
①当E,F分别为AC,BC中点时,四边形CEDF是正方形,故选项①正确.
②连接CD,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°
,CD=AD=DB;
∵在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA;
∵∠ADE+∠EDC=90°
,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°
∴△DFE是等腰直角三角形.故选项②正确.
③∵△ADE≌△CDF,
∴四边形CEDF的面积是定值4,故选项③正确.
①②③均正确,故选D
等腰直角三角形的性质
3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°
AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,且EH=EB,小彤在研究时得到四个结论:
①∠ABC=45°
;
②AH=BC;
③AE-BE=CH;
④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是()
A.①②③④B.②③④
C.①②③D.②③
B
①∵AD⊥BC,
若∠ABC=45°
,则∠BAD=45°
,由题意可知:
∠BAC=45°
所以∠ABC=45°
不成立,故选项①错误;
②∵CE⊥AB,∠BAC=45°
∴AE=EC,
在△AEH和△CEB中,
∴△AEH≌△CEB(SAS),
∴AH=BC,故选项②正确;
③又EC-EH=CH,
∴AE-EH=CH,故选项③正确.
④∵AE=CE,CE⊥AB,所以△AEC是等腰直角三角形,故选项④正确.
∴②③④正确.
故选B.
4.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D,DE⊥AC于E,DF⊥BA交BA的延长线于F.则下列结论:
①△CDE≌△BDF;
②CE=AB+AE;
③∠BDC=∠BAC;
④∠DAF+∠CBD=90°
.其中正确的是()
A.①②③B.①②④
C.②③④D.①③④
A
如图,
过点D作DG⊥BC,连接AD
∵DG垂直平分BC,
∴BD=CD
又AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB
∴DE=DF
在Rt△CDE和Rt△BDF中
∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL),选项①正确
∴∠BDF=∠CDE,CE=BF,∠FBD=∠DCE,
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∴CE=BF=AB+AF=AB+AE,选项②正确
∴∠BDC=∠180°
-(∠DBC+∠DCB)
=180°
-(∠DBC+∠ACB+∠DCA)
-(∠FBD+∠DBC+∠ACB)
-(∠ABC+∠ACB)
=∠BAC
选项③正确
∴①②③正确,故选A.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=45°
CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,
DH⊥BC于H,交BE于G.下列结论:
①BD=CD;
②AD+CF=BD;
③;
④AE=BG,其中正确的是()
A.①②B.①③
C.①②③D.①②③④
C
∵CD⊥AB,∠ABC=45°
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确.
∵CD⊥AB,DH⊥BC
∠DBF+∠BFD=90°
,∠DCA+∠EFC=90°
,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在△DFB和△DAC中,
∴△DFB≌△DAC(ASA).
∴BF=AC;
DF=AD.
∵CD=CF+DF,
∴AD+CF=BD;
故②正确.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在△BEA和△BEC中
∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)
又BF=AC,
;
故③正确.
连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形,
又DH⊥BC,
∴DH垂直平分BC.
∴BG=CG
在Rt△CEG中,
∵CG是斜边,CE是直角边,
∴CE<
CG.
∵CE=AE,
∴AE<
BG,故④错误.
故选C.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°
∠CBA的外角平分线,交AC的延长线于F,交斜边上的高CD的延长线于E,EG∥AC交AB的延长线于G.则下列结论:
①CF=CE;
②GE=CF;
③EF是CG的垂直平分线;
④BC=BG,其中正确的是()
A.①②③④B.①③④
C.②③④D.①②
∵BF平分∠GBC,
∴∠GBF=∠CBF,
而∠GBF=∠EBD,
∴∠CBF=∠EBD,
∵∠BCA=90°
,CD为高,
∴∠F=∠BED,
∴CF=CE,所以①正确.
又∵GE∥AF,
∴∠F=∠GEB,
∴∠GEB=∠CEB,
而∠GBF=∠CBF,
∴∠GBE=∠CBE,
在△BEG和△BEC中
∴△BEG≌△BEC(ASA),
∴GE=CE,
∴GE=CF,所以②正确.
在△EGC中,
EC=EG,EB平分∠CEG,
∴EB垂直平分GC,所以③正确.
∴BG=BC,所以④正确.
①②③④均正确,故选A.
7.如图,在长方形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上的点M处,延长BC,EF交于点N.有下列四个结论:
①DF=CF;
②BF⊥EN;
③△BEN是等边三角形;
④.其中正确的结论是()
C.②③④D.①②③④
(1)由折叠性质可知,△DEF≌△MEF
∴DF=MF,∠D=∠FME=90°
∴∠FMB=90°
∵BF平分∠EBC,
∴∠FBM=∠FBC
在△FBM和△FBC中
∴△FBM≌△FBC(AAS)
∴CF=MF
∵MF=DF
∴DF=CF,故①正确.
(2)由
(1)可知:
△DEF≌△MEF,△FBM≌△FBC
∴∠DFE=∠MFE,∠BFM=∠BFC
∴∠BFE=∠MFE+∠BFM=∠DFE+∠BFC=90°
∴BF⊥EN,故②正确.
(3)由BF⊥EN,BF平分∠NBE,可知△EBN是等腰三角形,EB=NB,但是不能确定角的度数,故不能确定△BEN是等边三角形.故③正确.
(4)由△DEF≌△MEF,△FBM≌△FBC可得:
,且DE=EM,BM=BC,∵点E是AD的中点
∴BE=3EM
,故④正确.
综上,正确选项为①②④
折叠的性质
8.在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M.下列结论:
①BG=CE;
②BG⊥CE;
③AM是△AEG的中线;
④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是()
A.4个B.3个
C.2个D.1个
在正方形ABDE和正方形ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,
即∠CAE=∠BAG,
∵在△ABG和△AEC中,
∴△ABG≌△AEC(SAS),
∴BG=CE,故①正确;
设BG,CE相交于点N,
∵△ABG≌△AEC,
∴∠ACE=∠AGB,
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°
+90°
∴∠CNG=360°
-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°
-(180°
)=90°
∴BG⊥CE,故②正确;
如图,过点E作EP⊥HA,交HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,
∵AH⊥BC,
∴∠ABH+∠BAH=90°
∵∠BAE=90°
∴∠EAP+∠BAH=180°
-90°
=90°
∴∠ABH=∠EAP,即∠ABC=∠EAM,故④正确.
∵在△ABH和△EAP中,
∴△ABH≌△EAP(AAS),
∴EP=AH,
同理可得GQ=AH,
∴EP=GQ,
∵在△EPM和△GQM中,
∴△EPM≌△GQM(AAS),
∴EM=GM,
∴AM是△AEG的中线,故③正确.
综上所述,①②③④都正确.
故选A.
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