最新选修42矩阵与变换教案Word格式文档下载.docx
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①上述三个矩阵分别是2×
1矩阵,2×
2矩阵(二阶矩阵),2×
3矩阵,注意行的个数在前。
②矩阵相等:
行数、列数相等,对应的元素也相等的两个矩阵,称为A=B。
③行矩阵:
[a11,a12](仅有一行)
④列矩阵:
(仅有一列)
⑤向量=(x,y),平面上的点P(x,y)都可以看成行矩阵或列矩阵,在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
练习1:
1.已知,,若A=B,试求
2.设,,若A=B,求x,y,m,n的值。
概念二:
由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。
a,b,c,d称为矩阵的元素。
①零矩阵:
所有元素均为0,即,记为0。
②二阶单位矩阵:
,记为E2.
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义:
规定二阶矩阵A=,与向量的乘积为,即==
练习2:
1.
(1)=
(2)=
2.=,求
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题1:
P(x,y)绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。
其结果为,也可以表示为,即==怎么算出来的?
问题2.P(x,y)绕原点逆时针旋转30o得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’;
②写出这个旋转变换的方程组形式;
③写出矩阵形式.
问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角,其结果又如何?
2.反射变换
把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。
研究:
P(x,y)关于x轴的反射变换下的象P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
将每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,(、均不为0),这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题:
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②.将每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’(即垂足),这个变换称为关于直线的投影变换。
P(x,y)在x轴上的(正)投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
将每一点P(x,y)沿着与x轴平行的方向平移个单位,称为平行于x轴的切变变换。
将每一点P(x,y)沿着与y轴平行的方向平移个单位,称为平行于y轴的切变变换。
这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。
练习:
P101.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=,求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
P131.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下,将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵,则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点,则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换,得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o,得到点A2,若存在一种反射变换同样可以使A变为A2,则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P(1,2)经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5),则该切变变换对应的坐标公式为
7.设,,且A=B.则x=
8.在平面直角坐标系中,关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下,点P(2,1)的像的坐标为
10.已知点A(2,-1),B(-2,3),则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为
11.向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量,则=
12.已知,=,=,设,,①求,;
13.已知,=,=,若与的夹角为135o,求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为。
①若点A在该线性变换作用下的像为(5,-5),求电A的坐标;
②解释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中,一种线性变换对应的二阶矩阵为。
求①点A(1/5,3)在该变换作用下的像;
②圆上任意一点在该变换作用下的像。
答案:
1. 2. 3.4. 5.6. 7.-1 8. 9.(0,5) 10.(2,8) 11., 12.、
13.x=2/314.(5,y)15.,
第二讲线性变换的性质·
复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量:
设,是任意一个实数,则
2.平面向量的加法:
设,,则
性质1:
设A是一个二阶矩阵,是平面上的任意两个向量,是任意一个实数,则①数乘结合律:
;
②分配律:
【探究1】对以上的性质进行证明,并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究分别在以下变换下的像所形成的图形。
①伸缩变换:
②旋转变换:
③切变变换:
④特别地:
直线x=a关于x轴的投影变换?
性质2:
二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成.
(证明见课本P19)
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
1恒等变换:
④反射变换:
⑤投影变换:
【练习:
P27】
【应用】
试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程。
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
1.研究任意向量先在旋转变换:
作用,再经过切变变换:
作用的向量
2.二阶矩阵的乘积
设矩阵A=,B=,则A与B的乘积
AB==
1.计算=
2.A=,B=,求AB
3.求在经过切变变换:
A=,及切变变换:
B=两次变换后的像。
4.设压缩变换:
A=,旋转变换:
B=,将两个变换进行复合,①求向量在复合变换下的像;
②求在复合变换下的像;
③在复合变换下单位正方形变成什么图形?
5.试研究椭圆①伸缩变换:
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②,①④等变换下的新曲线方程。
P35】
【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是()
A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
2.在切变变换:
作用下,直线y=2x-1变为
3.在A=作用下,直线变为y=-2x-3,则直线为
4.在对应的线性边变换作用下,椭圆变为
5.已知平面内矩形区域为(0≤x1≤1,0≤x2≤2),若一个线性变换将该矩形变为正方形区域,则该线性变换对应的矩阵为
6.将椭圆绕原点顺时针旋转45o后得到新的椭圆方程为
7.在对应的线性边变换作用下,圆(x+1)2+(y+1)2=1变为
8.计算:
①=
②=
③=
9.向量经过和两次变换后得到的向量为
10.向量先逆时针旋转45o,再顺时针旋转15o得到的向量为
11.函数的图像经过的伸缩变换,和的反射变换后的函数是
12.椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为
13.已知M=,且MN=,求矩阵N。
14.分别求出在、、对应的线性边变换作用下,椭圆变换后的方程,并作出图形。
15.函数先后经过怎样的变换可以得到?
写出相应的矩阵。
1.A 2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.6.7.y=x(-2≤x≤0) 8.、 、9.10.11.
12. 13. 14.y=-2x(-2≤x≤2)、y=0(-2≤x≤2)、15.=
第三讲矩阵乘法的性质·
逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设A=,B=,C=由A、B、C研究矩阵是否满足,①结合律;
②交换律;
③消去律。
结论:
2.由结合律研究矩阵A的乘方运算。
3.单位矩阵的性质
1.设A=,求A8
2.【练习:
P41】
二、逆变换与逆矩阵
1.逆变换:
设是一个线性变换,如果存在一个线性变换,使得
==,(是恒等变换)则称变换可逆,其中是的逆变换。
2.逆矩阵:
设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,其中B为A的逆矩阵。
符号、记法:
,读作A的逆。
1.试寻找R30o的逆变换。
1.A=,问A是否可逆?
若可逆,求其逆矩阵。
2.A=,问A是否可逆?
由以上两题,总结一般矩阵A=可逆的必要条件。
三、逆矩阵的性质
1.二阶矩阵可逆的唯一性。
2.设二阶矩阵A、B均可逆,则也可逆,且
P50】
【第三讲.作业】
1.已知非零二阶矩阵A、B、C,下列结论正确的是 ( )
A.AB=BAB.(AB)C=A(BC)C.若AC=BC则A=BD.若CA=CB则A=B
2.下列变换不存在逆变换的是 ( )
A.沿x轴方向,向y轴作投影变换。
B.变换。
C.横坐标不变,纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。
D.以y轴为反射变换
3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 ( )
A.B.C.D.
4.设A,B可逆,下列式子不正确的是()
A.B.
C.D.
5.,则N2=
6.=
7.=
8.设,则向量经过先A再B的变换后的向量为 经过先B再A的变换后的向量为
9.关于x轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
10.变换将(3,2)变成(1,0),设的逆变换为-1,则-1将(1,0)变成点
11.矩阵的逆矩阵为
12.设:
=,点(-2,3)在-1的作用下的点的坐标为
13.A=,则=
14.△ABC的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。
如果将三角形先后经过和两次变换变成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面积。
15.已知A=,B=,求圆在变换作用下的图形。
16.已知,试分别计算:
,,
1.B2.A3.D4.A5.6.7.8.、 9. 10.(3,2) 11. 12.(1,3) 13. 14.1 15. 16.、、、
第四讲二阶行列式与逆矩阵·
逆矩阵与二元一次方程组
一.二阶行列式与逆矩阵
【概念】
如果矩阵A=是可逆的,则0.
其中称为二阶行列式,记作,即=,也称为行列式的展开式。
符号记为:
detA或|A|
【可逆矩阵的充要条件】
定理:
二阶矩阵A=可逆,当且仅当detA=0.此时
(请同学一起证明此定理)
1.计算二阶行列式:
①②
2.判断下列二阶矩阵是否可逆,若可逆,求出逆矩阵。
①A=
②B=
P55】
二、二元一次方程组的矩阵形式
1.二元一次方程组的矩阵形式
一般的,方程组可写成矩阵形式为:
2.二元一次方程组的线性变换意义
设变换:
,向量、,则方程组,意即
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- 最新 选修 42 矩阵 变换 教案