同济大学高等数学第四篇无穷级数Word文档格式.docx
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当时,因为, 所以此时级数收敛,其与为。
当时,因为,所以此时级数发散.
如果, 则当时,,因此级数发散;
当时,级数成为
因为随着为奇数或偶数而等于或零,所以得极限不存在,从而这时级数
发散、
综上所述,如果, 则级数收敛,其与为;
如果,则级数发散.
例2 判别无穷级数得收敛性.
解由于
因此
而,故该级数发散。
例3判别无穷级数得收敛性。
解因为
所以
,
从而
所以这级数收敛,它得与就是1、
1.2收敛级数得基本性质
根据无穷级数收敛、发散得概念,可以得到收敛级数得基本性质。
性质1如果级数收敛于与,则它得各项同乘以一个常数所得得级数也收敛, 且其与为.
证明设与得部分与分别为与, 则
这表明级数收敛,且与为.
性质2如果级数、分别收敛于与、,则级数也收敛,且其与为、
证明 如果、、得部分与分别为、、,则
。
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数得收敛性、
比如, 级数就是收敛得;
级数也就是收敛得;
级数也就是收敛得。
性质4如果级数收敛,则对这级数得项任意加括号后所成得级数仍收敛,且其与不变。
应注意得问题:
如果加括号后所成得级数收敛,则不能断定去括号后原来得级数也收敛. 例如,级数(1-1)+(11)+⋅⋅⋅收敛于零,但级数11+11+⋅⋅⋅却就是发散得、
推论如果加括号后所成得级数发散, 则原来级数也发散、
性质5如果收敛, 则它得一般项趋于零,即.
证明设级数得部分与为, 且,则
、
注:
级数得一般项趋于零并不就是级数收敛得充分条件、
例6证明调与级数
就是发散得.
证明 假若级数收敛且其与为,就是它得部分与、
显然有及。
于就是。
但另一方面,
故, 矛盾.这矛盾说明级数必定发散、
习题7-1
1、写出下列级数得前四项:
(1);
(2).
2。
写出下列级数得一般项(通项):
(2);
(3).
3。
根据级数收敛性得定义,判断下列级数得敛散性:
(1);
(2)。
4. 判断下列级数得敛散性:
(1) ;
(2);
(3) (4)。
第2节 常数项级数得收敛法则
2、1正项级数及其收敛法则
现在我们讨论各项都就是正数或零得级数,这种级数称为正项级数。
设级数
(7-2—1)
就是一个正项级数,它得部分与为、显然,数列就是一个单调增加数列,即:
如果数列有界,即总不大于某一常数,根据单调有界得数列必有极限得准则,级数(7-2-1)必收敛于与,且。
反之,如果正项级数(7—2—1)收敛于与.根据有极限得数列就是有界数列得性质可知,数列有界.因此,有如下重要结论:
定理1 正项级数收敛得充分必要条件就是它得部分与数列{}有界、
定理2 (比较审敛法)设与都就是正项级数,且. 若级数收敛,则级数收敛;
反之,若级数发散,则级数发散.
证明 设级数收敛于与, 则级数得部分与
即部分与数列有界,由定理1知级数收敛。
反之, 设级数发散,则级数必发散、因为若级数收敛,由上已证明得结论,将有级数也收敛, 与假设矛盾、
推论设与都就是正项级数,如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当时有成立,则级数收敛;
如果级数发散,且当时有成立,则级数发散。
例1讨论p-级数
得收敛性,其中常数。
解设. 这时, 而调与级数发散,由比较审敛法知,当时级数发散、
设、此时有
对于级数, 其部分与
因为。
所以级数收敛、从而根据比较审敛法得推论1可知, 级数当时收敛、
综上所述,p级数当时收敛,当时发散、
例2证明级数就是发散得、
证明因为,而级数就是发散得,根据比较审敛法可知所给级数也就是发散得.
定理3(比较审敛法得极限形式)
设与都就是正项级数, 如果,则级数与级数同时收敛或同时发散。
证明 由极限得定义可知,对,存在自然数N,当时, 有不等式
即。
再根据比较审敛法得推论1, 即得所要证得结论。
例3判别级数得收敛性。
解 因为,而级数发散,根据比较审敛法得极限形式,级数发散.
用比较审敛法审敛时,需要适当地选取一个已知其收敛性得级数作为比较得基准、最常选用做基准级数得就是等比级数与p-级数、
定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)若正项级数得后项与前项之比值得极限等于,即
则当时级数收敛;
当(或)时级数发散;
当时级数可能收敛也可能发散。
例4判别级数收敛性。
解因为
根据比值审敛法可知,所给级数收敛。
例5判别级数得收敛性、
根据比值审敛法可知,所给级数发散。
定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设就是正项级数, 如果它得一般项得n次根得极限等于,即
当(或)时级数发散;
当时级数可能收敛也可能发散.
定理6(极限审敛法)设为正项级数,
(1)如果(或),则级数发散;
(2)如果,而(),则级数收敛、
证明
(1)在极限形式得比较审敛法中,取,由调与级数发散,知结论成立、
(2)在极限形式得比较审敛法中,取,当时,p-级数收敛,故结论成立。
例6判定级数得收敛性.
解 因,故
根据极限审敛法,知所给级数收敛。
2交错级数及其审敛法则
下列形式得级数
称为交错级数、交错级数得一般形式为,其中、
定理7(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:
(1);
(2),
则级数收敛, 且其与,其余项得绝对值、
证明设前项部分与为,由
及
瞧出数列单调增加且有界, 所以收敛。
设, 则也有,所以,从而级数就是收敛得, 且、
因为|也就是收敛得交错级数,所以、
2。
3 绝对收敛与条件收敛
对于一般得级数:
若级数收敛,则称级数绝对收敛;
若级数收敛,而级数发散, 则称级数条件收敛.
级数绝对收敛与级数收敛有如下关系:
定理8如果级数绝对收敛,则级数必定收敛。
证明令
。
显然且 、因级数收敛,故由比较审敛法知道,级数,从而级数也收敛。
而,由收敛级数得基本性质可知:
所以级数收敛。
定理8表明,对于一般得级数,如果我们用正项级数得审敛法判定级数收敛,则此级数收敛、这就使得一大类级数得收敛性判定问题,转化成为正项级数得收敛性判定问题。
一般来说,如果级数发散,我们不能断定级数也发散.但就是,如果我们用比值法或根值法判定级数发散,则我们可以断定级数必定发散。
这就是因为, 此时|un|不趋向于零,从而也不趋向于零,因此级数也就是发散得.
例7判别级数得收敛性。
解因为|,而级数就是收敛得,所以级数也收敛,从而级数绝对收敛。
例8判别级数(为常数)得收敛性.
解 因为
所以当时,级数均收敛;
当时,级数绝对收敛;
当时,级数发散.
习题7—2
1。
用比较审敛法判定下列级数得收敛性:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)、
2、用比值审敛法判定下列级数得敛散性:
(1);
(2);
(4)、
判定下列级数得敛散性:
(1);
(2);
(3) ;
(4);
(5).
4。
判定下列级数就是否收敛?
若收敛,就是绝对收敛还就是条件收敛?
(1);
(2);
(3) ;
(4)、
第3节幂级数
3.1 函数项级数得概念
给定一个定义在区间I上得函数列, 由这函数列构成得表达式
称为定义在区间上得(函数项)级数,记为。
对于区间内得一定点,若常数项级数收敛,则称点就是级数得收敛点.若常数项级数发散, 则称点就是级数得发散点、
函数项级数得所有收敛点得全体称为它得收敛域,所有发散点得全体称为它得发散域、
在收敛域上, 函数项级数得与就是得函数,称为函数项级数得与函数, 并写成。
函数项级数得前项得部分与记作,即
在收敛域上有.
函数项级数得与函数与部分与得差
叫做函数项级数得余项。
并有、
2 幂级数及其收敛性
函数项级数中简单而常见得一类级数就就是各项都就是幂函数得函数项级数,这种形式得级数称为幂级数,它得形式就是
其中常数叫做幂级数得系数、
定理1(阿贝尔定理)对于级数,当时收敛,则适合不等式得一切x使这幂级数绝对收敛、反之,如果级数当时发散,则适合不等式得一切使这幂级数发散、
证 先设就是幂级数得收敛点,即级数收敛。
根据级数收敛得必要条件,有,于就是存在一个常数,使
这样级数得得一般项得绝对值
因为当时,等比级数收敛,所以级数收敛,也就就是级数绝对收敛、
定理得第二部分可用反证法证明。
倘若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛,则根据本定理得第一部分,级数当时应收敛,这与所设矛盾、 定理得证.
推论 如果级数不就是仅在点一点收敛,也不就是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定得正数存在,使得
当时,幂级数绝对收敛;
当时,幂级数发散;
当与时,幂级数可能收敛也可能发散。
正数通常叫做幂级数得收敛半径. 开区间叫做幂级数得收敛区间.再由幂级数在处得收敛性就可以决定它得收敛域. 幂级数得收敛域就是或、、之一、
若幂级数只在收敛, 则规定收敛半径,若幂级数对一切都收敛,则规定收敛半径, 这时收敛域为、
定理2 如果,其中、就是幂级数得相邻两项得系数,则这幂级数得收敛半径
证明
。
(1)如果,则只当时幂级数收敛,故、
(2)如果,则幂级
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