高三理科数学三角函数解题方法例子[1]Word文档格式.doc
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tanα=tan[(α-β)+β]=,∴α∈(0,)
tanβ=-∴β∈(π),∴2α-β∈(-π,0)
tan2(α-β)=
∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]==1所以2α-β=-
例3:
已知tan2θ=-2,θ∈(),求:
的值。
原式=
∵tan2θ=-2,2θ∈(,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=2,x=1,则r=3
∴cos2θ=,sinθ=
所以原式=
例4:
化简:
∵tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
说明:
这里实际上是运用的两角和(差)的正切公式tan(α+β)=变形,把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·
tanβ来表示,这类问题在三角求值问题中也常遇到,如求tan(15°
-α)tan(75°
-α)+tan(15°
-α)·
tan2α+tan(75°
-α)·
tan2α的值等等。
例5:
已知,且,求cosα
解:
∵sinα+sin3α=2sin2α·
cosαcosα+cos3α=2cos2α·
cosα
∴sin2αsinα=-4cosα·
cos2α∵∴cosα≠0
∴2sin2α=-cos2α即3cos2α=1∴cosα=-
例6:
已知5sinβ=sin(2α+β),求证
从角的关系入手,首先考虑结论中的两个角是α+β,α,而已知条件中的两个角可以用α+β,α来表示,然后再运用两角和差的正余弦公式即可。
证明:
∵5sinβ=sin(2α+β)
∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα
∴
例7:
在ΔABC中,已知sinA=3/5,cosB=5/13,求cosC的值。
由于三角形内角和为180°
所以求cosC的值即求-cos(A+B)的值,由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±
4/5,在这里到底是两种情形都存在,还是只有一种情形,我们要加以判别,这是此题的关键所在。
方法一:
∵sinA=∈∴A∈(30°
,45°
)∪(135°
,150°
)
又cosB=∴B∈(60°
90°
),此时若A∈(135°
150°
则A+B>
180°
不能构成三角形,A∈(30°
45°
∴cosC=cos(180°
-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=16/65
方法二:
∵sinA=3/5,∴cosA=±
4/5cosB=5/13∴sinB=12/13
⑴若cosA=-4/5,则sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<
0不合题意
⑵若cosA=4/5,则cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述:
cosC=16/65
例8:
求函数f(x)=的最大值。
此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题,但直接假设是不可能求出解的,这时我们可以先注意函数f(x)的定义域x∈[-2,2],即x/2∈[-1,1],由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π],这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了,从而使问题很快解决。
∵4-x2≥0∴-2≤x≤2,令x=2cosθθ∈[0,π]
则f(x)=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=sin(θ+φ)-2
其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2
∴sin(θ+ф)的最大值为1
当θ+φ=π/2即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立
∴f(x)≤-2即f(x)的最大值为-2
【每周一练】
一、选择题:
1、若tan(α+β)=2/5tan(β-π/4)则tan(α+π/4)的值为()
A、B、C、D、
2、ΔABC中,A>
B是sinA>
sinB的()
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
3、已知tanα=1/7,tanβ=1/3,α、β均为锐角,则α+2β的值是:
()
A、B、C、D、
4、已知cotα=2,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)等于()
A、B、-C、C、-
5、若sin4θ+cos4θ=1,则sinθ+cosθ的值是()
A、1B、-1C、-1和1D、以上均不正确
6、已知且α、β满足,则tanβ等于()
A、B、C、D、
7、(其中)的值为()
A、4B、-4C、2D、-2
8、函数y=3sin(x+20°
)+5sin(x+80°
)的最大值是:
()
A、B、C、7D、8
9、在ΔABC中,若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则ΔABC的形状是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰三角形
10、若,且,则cos2α的值是()
A、B、C、D、或
11、设,k∈Z,T=.则T为()
A、正值B、非负值C、负值D、可正可负
二、填空题:
12、已知且0≤x≤p,则tanx=
13、
14、
15、若,则
16、化简3+tan(A+60°
)tan(A-60°
)+tanA·
tan(A+60°
tan(A-60°
)为
17、若α是第二象限的角,且则=
18、ΔABC,若cosA·
cosB+sinA·
cosB+cosA·
sinB+sinA·
sinB=2,则ΔABC是
19、=
三、解答题:
20、已知,求的值。
21、化简:
22、已知θ为锐角,并且sinθ-cosθ=1/2,求1-sinθ+sin2θ-sin3θ+…的值
23、已知的值
24、ΔABC中,若tanA、tanB是方程x2+mx+1=0的两个根,
(1)求tan(A+B);
(2)求实数m的取值范围。
25、已知圆o的半径为R,它的内接三角形ABC中2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB成立,求SΔABC的最大值。
26、对于任一实数a,设y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a)
(1)求f(a)
(2)若f(a)=求:
a
【每周一练答案】
一、选择题
1、B2、C3、A4、B5、C6、D7、B8、C9、C10、C11、A
二、填空题
12、0或13、-14、2-15、3-216、0
17、-118、等腰直角三角形19、1
三、解答题
20、21、
22、解:
sinθ∈(0,1)∴-sinθ∈(-1,0)
原式=,又由sinθ-cosθ=得tanθ/2=
∴原式=
23、由条件知cosx-sinx=cosx+sinx=,∴cosx=-,sinx=
∴tanx=7∴原式=
24、
(1)tan(A+B)=1
(2)由题意知0<
tanA,tanB<
1即方程x2+mx+m+1=0的两根在区间(0,1)内,则-1<
m≤
25、
26、
(1)f(a)=
(2)a=-1
高三数学----三角函数续
【教学内容】
三角函数
1、学习三角函数,首先要牢固掌握三角函数的定义、性质、图象等基础知识,并熟练掌握和、差、倍、半以及和差化积、积化和差公式。
2、要熟练掌握三角函数的定义,三角函数值的符号,掌握同角三角函数的三种关系及诱导公式,并能运用它求任意角的三角函数值。
3、熟练掌握基本三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx的定义域;
并能结合代数函数定义域的求法,求出与三角函数有关的函数的定义域。
了解单位圆中的正、余弦线,并用它来求简单三角不等式的解集。
4、三角函数的单调区间是定义域的子集,应在确定定义域后再求出单调区间;
而比较三角函数值的大小,通常是转化为在同一单调区间的两个同名函数值的大小比较问题。
5、了解周期函数及最小正周期的意义,会计算y=Asin(ωx+φ)+K或可以化为此类型的三角函数的周期;
掌握由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换方法,并能用“五点法”作出y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象。
6、熟练掌握y=si
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- 理科 数学 三角函数 解题 方法 例子