学年高中数学人教A版必修五习题第1章+解三角形+12+第2课时+Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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[解析] 设AB=xm,则BC=xm,BD=xm,在△BCD中,由余弦定理,得
BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcos120°
,
∴x2-20x-800=0,∴x=40(m).
3.若甲船在B岛的正南方A处,AB=10km,甲船以4km/h的速度向正北航行,同时,乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°
的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们的航行时间是( A )
A.minB.h
C.21.5minD.2.15h
[解析] 当时间t<
2.5h时,如图.
∠CBD=120°
,BD=10-4t,BC=6t.
在△BCD中,利用余弦定理,得
CD2=(10-4t)2+(6t)2-2×
(10-4t)×
6t×
cos120°
=28t2-20t+100.
当t==(h),即min时,CD2最小,即CD最小为.
当t≥2.5h时,CF=15×
,CF2=>
CD2,
故距离最近时,t<
2.5h,即t=min.
4.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°
,塔基的俯角为45°
,那么塔AB的高度为( A )
A.20(1+)mB.20(1+)m
C.20(1+)mD.30m
[解析] 如图,作CE⊥AB,则由条件知CE=20,∠BCE=30°
,∠ACE=45°
∴BE=CE·
tan30°
=,AE=CE=20,
∴AB=20(1+),故选A.
5.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°
和30°
,而且两条船与炮台底部连线成30°
角,则两条船相距( D )
A.10mB.100m
C.20mD.30m
[解析] 设炮塔顶A、底D,两船B、C,则∠ABD=45°
,∠ACD=30°
,∠BDC=30°
,AD=30,∴DB=30,DC=30,BC2=DB2+DC2-2DB·
DC·
=900,
∴BC=30.
6.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°
,沿倾斜角为30°
的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°
,则山高BC为( D )
A.500mB.200m
C.1000mD.1000m
[解析] ∵∠SAB=45°
-30°
=15°
∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°
-(90°
-75°
)=30°
在△ABS中,AB==
=1000,
∴BC=AB·
sin45°
=1000×
=1000(m).
二、填空题
7.一树干高15m,被台风吹断并歪倒,折断部分(长5m)与残存树干成120°
角,树干折断处距离地面的高度是____m.(不求近似值)
[解析] 如图,大树折断部分BC=5m,殊存树干为AB,折断部分与残存树干所成的角为∠ABC=120°
.
作AD⊥CB交CB延长线于点D,
作BE⊥AC于点E,BE的长为树干折断处距离地面的高度.
∵树干高15m,∴AB+BC=15(m),
∴AB=15-BC=10(m).
∵∠ABC=120°
,∴∠ABD=60°
∴∠BAD=90°
-∠ABD=30°
∴BD=AB=5(m).
∴AD===5(m).
∴CD=CB+BD=10(m).
∴AC===5(m),
∵S△ABC=AC·
BE=BC·
AD,
∴BE===(m).
8.甲船在A处发现乙船在北偏东60°
的B处,乙船正以anmile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是anmile/h,问甲船应沿着__北偏东30°
__方向前进,才能最快与乙船相遇?
[解析] 如图,设经过th两船在C点相遇,
则在△ABC中,
BC=at,AC=at,B=180°
-60°
=120°
由=,
得sin∠CAB===.
∵0°
<
∠CAB<
90°
∴∠CAB=30°
,∴∠DAC=60°
=30°
即甲船应沿北偏东30°
的方向前进,才能最快与乙船相遇.
三、解答题
9.在海岸A处,发现北偏东45°
方向,距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°
的方向,距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
[解析] 设缉私船用t小时在D处追上走私船.在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠CAB=(-1)2+22-2×
(-1)×
2×
=6,∴BC=.
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠ABC=sin∠BAC=,
∴∠ABC=45°
,∴BC与正北方向垂直.
∴∠CBD=120°
.在△BCD中,由正弦定理,得
=,
∴=,∴sin∠BCD=,
∴∠BCD=30°
故缉私船沿北偏东60°
的方向能最快追上走私船.
B级 素养提升
1.渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°
角的方向行驶,水流速度为4km/h,则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( C )
A.14.5km/hB.15.6km/h
C.13.5km/hD.11.3km/h
[解析] 由物理学知识,
画出示意图,如图.AB=15,AD=4,
∠BAD=120°
.在▱ABCD中,D=60°
在△ADC中,由余弦定理,得
AC=
==≈13.5(km/h).
故选C.
2.某人在C点测得某塔在南偏西80°
,塔顶仰角为45°
,此人沿南偏东40°
方向前进10m到D,测得塔顶A的仰角为30°
,则塔高为( C )
A.15mB.5m
C.10mD.12m
[解析] 如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°
,则OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°
,则OD=h.
在△OCD中,∠OCD=120°
,CD=10,
由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·
CDcos∠OCD,
即(h)2=h2+102-2h×
10×
∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).
3.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°
,45°
,60°
,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为( D )
A.15mB.20m
C.25mD.30m
[解析] 设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得
cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
∵∠PBA+∠PBC=180°
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度为30m.
4.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖的仰角为45°
,乙同学在B地测得树尖的仰角为30°
,量得AB=AC=10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上),则∠ACB=__30°
__.
[解析] 如图,AC=10,∠DAC=45°
,∴DC=10,
∵∠DBC=30°
,∴BC=10,
cos∠ACB==,
∴∠ACB=30°
5.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°
,C点的仰角∠CAB=45°
以及∠MAC=75°
;
从C点测得∠MCA=60°
.已知山高BC=100m,则山高MN=__150__m.
[解析] 如图,
在Rt△ABC中,BC=100,∠CAB=45°
,∴AC=100.
在△AMC中,∠CAM=75°
,∠ACM=60°
∴∠AMC=45°
由正弦定理知=,
∴AM=100.
在Rt△AMN中,∠NAM=60°
∴MN=AM·
sin60°
=100×
=150(m).
6.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°
方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2h追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sinα的值.
[解析]
(1)依题意可得,在△ABC中,∠BAC=180°
,AB=12,AC=10×
2=20,∠BCA=α.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×
AC×
cos∠BAC
=122+202-2×
12×
20×
=784.
解得BC=28.
所以渔船甲的速度为=14nmile/h.
(2)在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°
,BC=28,∠BCA=α,
由正弦定理,得=.
即sinα===.
C级 能力拔高
1.据气象台预报,在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成,并以每小时30km的速度向北偏西30°
的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.
问:
S岛是否受其影响?
若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?
持续时间多久?
说明理由.
[解析] 如图,设台风中心经过th到达B点,由题意:
∠SAB=90°
=60°
在△SAB中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60°
由余弦定理,得
SB2=SA2+AB2-2SA·
AB·
cos∠SAB
=3002+(30t)2-2·
300·
30tcos60°
若S岛受到台风影响,则应满足条件
|SB|≤270即SB2≤2702,
化简整理得t2-10t+19≤0,解之得5-≤t≤5+,
所以从现在起,经过(5-)hS岛开始受到影响,(5+)h后影响结束,持续时间:
(5+)-(5-)=2(h).
答:
S岛从现在起经过(5-)h受到台风影响,且持续时间为2h.
2.如图,某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°
的方向以每小时6km的速度步行了1min以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°
(1)求该人沿南偏西60°
的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;
(2)求塔的高AB.(结果保留根号,不求近似值)
[解析]
(1)依据题意知,在△DBC中,∠BCD=30°
,∠DBC=180°
-45°
=135°
,CD=6000×
=100(m),
∠BDC=45°
,由正弦定理,得=,
∴BC===
==50(-1)(m),
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- 年高 学人 必修 习题 三角形 12 课时 Word 答案
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