污水处理模型最终版Word文档格式.docx

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国家规定的污水浓度不能超过1。

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

二、问题分析

通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。

在问题中有三个工厂以及对应的三个污水处理厂，那么这三个污水处理厂各向江中投放的污水浓度就要有一个界值，又因当处理厂将污水排到江中之后污水会随着江水不断向下游移动，因此下游污水的浓度与上游污水的浓度是紧密相关的，即江面中每段污水的浓度都是有联系的，在模型的建立过程中我们就要考虑应用递推的方法进行相邻两端之间污水浓度的联系，在问题的求解中因所花费用都是用来对污水的处理，因此对个处理厂排出的污水浓度的确定就显得至关重要，只有确定了这三个未知数即这三个界值后，我们才能建立目标函数从而进一步得到最小花费。

基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，我们建立了线性规划模型。

具体问题分析如下：

对于第一个问题

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的

解也就是说对于工厂1所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度就得达到国家标准。

同时工厂2，3排出的经过处理的污水与江水经过自净的水混合后也要达到国家标准。

这样在求解具体问题的时候每个限制条件在江水与工厂排出的水混合时进行设定。

对于第二个问题

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用,对居民点1来说其上游的江水污水浓度为0.8（）,低于国家的标准污水浓度，无需考虑。

也就是说在第二，三个居民点之前，污水浓度必须达到国家标准，此时处理问题的限制条件发生在第二三个居民点处。

这时工厂1排出的污水经过污水厂的处理之后与江水混合，再经过江水自净到达居民点2之前须达到国家标准，居民点3同理。

三、模型假设

（1）河水的水流量和污水浓度短时间内不受天气与居民用水影响，只与工厂的排放有关；

（2）河水的自我净化能力在短时间内不会发生改变；

既自净系数不变；

（3）工厂排出的污水能在很短的时间内很好地与江水均匀融合；

（4）各污染物之间不会发生化学反应，也没有物理沉淀；

（5）工厂均能正常运作，不发生任何事故；

（6）河水和工厂的水流量均衡，污染物浓度平均；

四、符号定义及模型假设

符号定义：

表示第段江水的流量

表示各工厂排出污水的流量

表示第段江水中污水的浓度

表示第个污水厂的污水浓度

表示第个处理厂的污水浓度

表示江水与处理厂的污水混合后的污水浓度

表示第个处理厂的处理系数

表示第段江面的自净系数

表示所花费用

表示国家规定的污水浓度，其中 

=1

模型假设：

设有个工厂，个处理厂与个居民点，模型中部分相关参数在途中已进行表示如下所示：

工厂，污水浓度，流量；

处理厂1，污水浓度，流量；

处理厂，污水浓度，流量；

江水流量为，江水上游污水浓度为，各水段自净系数为；

工厂1，污水浓度，流量；

居民点居民点，居民点。

当处理厂将污水处理完排放到江中之后，居民点1即要取水，此时所要满足的条件是（为了解决问题方便不妨假设）

同理对居民点其所满足的为,其中

假设花费为则有

目标函数：

五、模型的建立及求解

模型的建立：

对问题进行一般化处理后我们建立一般化的模型如下：

min

线性约束条件：

模型求解：

在上面的一般模型中我们比较仔细的考虑了江水流量与处理厂的流量问题，但在现实生活中因污水处理厂的处理能力有限，因此其流量相对于江水流量而言较小，我们对其进行理想化的处理即整个江水的流量为一常数，在求解段江面的混合污水浓度时忽略污水厂的流量。

得到的简化模型如下所示：

min 

对于问题

（1）求解：

min

利用lingo求解可得当，，时，.

所以要想使江面所有地段均达到国家标准，所花最小费用为500万元。

对于问题二求解：

利用lingo求解可得当，，时，,所以要使个居民点上游江水均达到国家标准，所花最少费用为188.8889万元。

六、模型的评价

优点：

1） 

该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优

2） 

该模型将现实中的污水处理问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便，有利于对相似问题进行求解和对模型进行扩充，比如工厂的流水作业问题，物品运输问题，空气污染净化等问题的建模求解。

3） 

此问题所建立的模型是从一般问题到特殊问题的过渡，所用的数学方法为线性规划，易于用多种数学软件编程求解，例如LINDO，C++，MATLAB等。

缺点：

1．该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离，比如这三个污水厂排出的污水流量相等，实际中居民点是一个面，再此模型中将其看作了一个点来进行处理

2）模型只从费用单方面考虑，忽略了处理厂与江水流量变化等的实际问题，使得模型的建立偏离一定实际，从而计算结果不准确。

七、参考文献

1、谭永基，蔡志杰.数学模型[M].上海：

复旦大学出版社.2005

2、薛定全，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京：

清华大学出版社.2004

3、郑汉鼎，刁在筠编著数学规划[M].,济南：

山东教育出版社，1997

4、谢金星，薛毅编著优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京：

清华大学出版社2005

附录：

（1）

Min5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3

s.t

0.005X1<

=0.2

0.0045X1+0.005X2<

=0.28

0.0027X1+0.003X2+0.005X3<

=0.568

X1<

=100

X2<

=60

X3<

=50

A1=100

A2=60

A3=50

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP 

2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

500.0000

VARIABLE 

VALUE 

REDUCEDCOST

A1 

100.000000 

0.000000

X1 

40.000000 

A2 

60.000000 

X2 

20.000002 

A3 

50.000000 

X3 

ROW 

SLACKORSURPLUS 

DUALPRICES

2） 

0.000000 

100.000023

1000.000000

4） 

0.150000 

5） 

6） 

7） 

5.000000

8） 

-5.000000

9） 

10） 

NO.ITERATIONS= 

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

CURRENT 

ALLOWABLE 

ALLOWABLE

COEF 

INCREASE 

D