小学奥数几何五大模型鸟头模型文档格式.docx
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图图
【例1】如图在中,分别是上的点,且,,平方厘米,求的面积.
【解析】连接,,
,所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
【巩固】如图,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面积等于1,那么三角形的面积是多少?
【解析】连接.
∵
∴
又∵
∴,∴.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
∵,
∴,
又∵,
∴,∴,.
【例2】如图在中,在的延长线上,在上,且,
,平方厘米,求的面积.
【解析】连接,,
所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?
【解析】连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍,而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;
又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍.因此,平行四边形的面积为(平方厘米).
【例4】已知的面积为平方厘米,,求的面积.
【解析】,
设份,则份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米
【例5】如图,三角形的面积为3平方厘米,其中,,三角形的面积是多少?
【解析】由于,所以可以用共角定理,设份,份,则份,
份,由共角定理,设份,恰好是平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,三角形的面积是平方厘米
【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形边长为6厘米,,.三角形的面积为_______平方厘米.
【解析】由题意知、,可得.根据”共角定理”可得,
;
而;
所以;
同理得,;
,,
故(平方厘米).
【例7】如图,已知三角形面积为,延长至,使;
延长至,使;
延长至,使,求三角形的面积.
【解析】(法)本题是性质的反复使用.
连接、.
∵,,
∴.
同理可得其它,最后三角形的面积.
(法)用共角定理∵在和中,与互补,
又,所以.
同理可得,.
所以.
【例8】如图,平行四边形,,,,,平行四边形的面积是,求平行四边形与四边形的面积比.
【解析】连接、.根据共角定理
∵在和中,与互补,
同理可得,,.
【例9】如图,四边形的面积是平方米,,,,,求四边形的面积.
【解析】连接.由共角定理得,即
同理,即
所以
连接,同理可以得到
所以平方米
【例10】如图,将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、,若四边形的面积为5,则四边形的面积是.
【解析】连接、.
由于,,于是,同理.
于是.
再由于,,于是,同理.
那么.
【例11】如图,在中,延长至,使,延长至,使,是的中点,若的面积是,则的面积是多少?
【解析】∵在和中,与互补,
【例12】如图,,,,,.求.
【解析】本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的种情况.
最后求得的面积为.
【例13】如图所示,正方形边长为厘米,是的中点,是的中点,是的中点,三角形的面积是多少平方厘米?
因为,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到,,,所以平方厘米.
【例14】四个面积为的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.
【解析】如图,将原图扩展成一个大正三角形,则与都是正三角形.
假设正六边形的边长为为,则与的边长都是,所以大正三角形的边长为,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为,三角形的面积为.
由于,,所以与三角形的面积之比为.
同理可知、与三角形的面积之比都为,所以的面积占三角形面积的,所以的面积的面积为.
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形的面积是.
【解析】从图中可以看出,虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;
虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;
虚线外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的,所以虚线外图形的面积等于,所以五边形的面积是.
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。
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