高中数学竞赛第十讲Word文件下载.doc
- 文档编号:14380749
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOC
- 页数:8
- 大小:326KB
高中数学竞赛第十讲Word文件下载.doc
《高中数学竞赛第十讲Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学竞赛第十讲Word文件下载.doc(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
以上组合恒等式(是指组合数满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基
本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出.
5.证明组合恒等式的方法常用的有
(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.
(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.
(3)利用数学归纳法.
(4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.
赛题精讲
例1:
求的展开式中的常数项.
【解】由二项式定理得
①
其中第项为②
在的展开式中,设第k+1项为常数项,记为
则③
由③得r-2k=0,即r=2k,r为偶数,再根据①、②知所求常数项为
【评述】求某一项时用二项展开式的通项.
例2:
求的展开式里x5的系数.
【解】因为
所以的展开式里x5的系数为
【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.
例3:
已知数列满足
求证:
对于任何自然数n,
是x的一次多项式或零次多项式.(1986年全国高中数学联赛试题)
【思路分析】由是等差数列,则从而可将表示成的表达式,再化简即可.
【解】因为所以数列为等差数列,设其公差为d
有从而
由二项定理,知
又因为
从而
所以
当的一次多项式,当零次多项式.
例4:
已知a,b均为正整数,且求证:
对一切,An均为整数.
【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理,复数需要,然后分析An与复数的关系.
【证明】因为
显然的虚部,由于
所以从而的虚部.
因为a、b为整数,根据二项式定理,的虚部当然也为整数,所以对一切,An为整数.
【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键.
例5:
已知为整数,P为素数,求证:
【证明】
由于为整数,可从分子中约去r!
,又因为P为素数,且,所以分子中的P不会红去,因此有所以
【评述】将展开就与有联系,只要证明其余的数能被P整除是本题的关键.
例6:
若,求证:
【思路分析】由已知猜想,因此需要求出,即只需要证明为正整数即可.
【证明】首先证明,对固定为r,满足条件的是惟一的.否则,设
则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的.下面求.
因为
又因为
故
【评述】猜想进行运算是关键.
例7:
数列中,,求的末位数字是多少?
【思路分析】利用n取1,2,3,…猜想的末位数字.
【解】当n=1时,a1=3,
,因此的末位数字都是7,猜想,现假设n=k时,
当n=k+1时,
从而
于是故的末位数字是7.
【评述】猜想是关键.
例8:
求N=1988-1的所有形如为自然数)的因子d之和.
【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数,为此将19变为20-1和18+1,然后用二项式定理展开.
【解】因为N=1988-1=(20-1)88-1=(1-4×
5)88-1
=-
其中M是整数.
上式表明,N的素因数中2的最高次幂是5.又因为N=(1+2×
9)88-1
=32×
2×
88+34·
P=32×
(2×
88+9P)其中P为整数.
上式表明,N的素因数中3的最高次幂是2.
综上所述,可知,其中Q是正整数,不含因数2和3.
因此,N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.
例9:
设,求数x的个位数字.
【思路分析】直接求x的个位数字很困难,需将与x相关数联系,转化成研究其相关数.
【解】令
,由二项式定理知,对任意正整数n.
为整数,且个位数字为零.
因此,x+y是个位数字为零的整数.再对y估值,
因为,且,
所以故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题.
例10:
已知试问:
在数列中是否有无穷多个能被15整除的项?
证明你的结论.
【思路分析】先求出,再将表示成与15有关的表达式,便知是否有无穷多项能被15整除.
【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项,下面证明之.
数列的特征方程为它的两个根为,
所以(n=0,1,2,…)
由则
取,由二项式定理得
由上式知当15|k,即30|n时,15|an,因此数列中有无穷多个能被15整除的项.
【评述】在二项式定理中,经常在一起结合使用.
针对性训练题
1.已知实数均不为0,多项的三根为,求
的值.
2.设,其中为常数,如果求的值.
3.定义在实数集上的函数满足:
4.证明:
当n=6m时,
5.设展开式为,求证:
6.求最小的正整数n,使得的展开式经同类项合并后至少有1996项.
(1996年美国数学邀请赛试题)
7.设,试求:
(1)的展开式中所有项的系数和.
(2)的展开式中奇次项的系数和.
8.证明:
对任意的正整数n,不等式成立.
(第21届全苏数学竞赛题)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 竞赛 第十