高中数学23个求极值和值域专题分享.docx
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高中数学23个求极值和值域专题分享
23个求极值和值域专题
1、求函数的值域.
2、求函数的值域.
3、求函数的值域.
4、求函数的值域.
5、已知函数(其中)的值域是,求实数.
6、已知:
为正实数,且,求函数的最小值.
7、已知:
,求:
的最小值.
8、设函数在区间的最小值为,最大值为,求区间.
9、已知:
,求函数的最大值.
10、求函数:
的最小值.
11、求函数:
的值域.
12、已知实数满足和,求的最小值.
13、求函数:
的最小值.
14、已知:
,求函数:
的最小值.
15、已知点在椭圆上,求的最大值.
16、求函数:
的值域.
17、求函数:
的值域.
18、求函数:
的最大值.
19、设:
为正实数,且满足,
试求:
的最小值.
20、已知为正实数,且满足,
求:
的最大值.
21、设为锐角,求:
的最小值.
22、设为锐角,求证:
.
23、已知为正实数,求证:
.
23个求极值和值域专题解析
1、求函数的值域.
解析:
函数的定义域为:
.
函数的导函数为:
当时,,则
故
即:
函数在区间为单调递减函数,故:
;
故:
函数在该区间的值域是.
当时,,则
即:
函数在区间为单调递增函数,故:
;
故:
函数在该区间的值域是.
综上,函数的值域是.
本题采用导数的正负来确定函数的增减,此法称为“单调性法”.
2、求函数的值域.
解析:
函数的定义域是:
.待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设:
,则柯西不等式为:
即:
令:
,即:
由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得:
由得:
,即:
,即:
将代入得:
即:
即:
,即:
试解,由于,则式刚好也是3项相乘,不妨试解采用各项都是3.
则:
,且.则:
,,
代入得:
,即时函数取得极大值.
函数极大值为
当时,函数在本区间为单调递增函数.故:
即:
函数在区间的值域是
当时,函数在本区间为单调递减函数.故:
即:
函数在区间的值域是
综上,函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
3、求函数的值域.
解析:
函数的定义域是:
.待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设:
,则柯西不等式为:
即:
令:
,即:
由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得:
即:
,即:
,即:
即:
,即:
,即:
将式代入式得:
当时,函数达到极大值.极大值为:
函数的导函数为:
当区间时,,函数单调递增.故:
即:
函数在本区间的值域是.
当区间时,,函数单调递减.故:
即:
函数在本区间的值域是.
综上,函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
4、求函数的值域.
解析:
函数的定义域是:
.则函数为:
(当时取负号,当时取正号)
于是函数的极值在:
即:
即:
,即:
在区间,函数的极值为:
在区间的边界有:
故:
函数在该区间的值域是.
在区间,函数,为单调递减函数.
故有:
;
故:
函数在该区间的值域是.
综上,函数的值域是.本题方法属“单调性法”
5、已知函数(其中)的值域是,求实数.
解析:
函数的定义域为.
将函数变形为:
,即:
其判别式不等式为:
即:
而函数的值域是,即:
,即:
对比两式得:
,,即,因,故:
故:
实数,.此法称为“判别式法”.
6、已知:
为正实数,且,求函数的最小值.
解析:
首先设,代入得:
,即:
,则:
当时,由均值不等式,即:
得:
则:
当时,由均值不等式,即:
得:
则:
当时,由均值不等式,即:
代入已知条件,得:
则:
故:
由、、得,的最小值是.
本题先确定均值,然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.
7、已知:
,求:
的最小值.
解析:
由已知条件得:
代入得:
即:
令:
,则方程变为:
采用判别式法得:
,即:
,即:
故:
的最小值是.此题采用的是“判别式法”
8、设函数在区间的最小值为,最大值为,求区间.
解析:
首先,是一个偶函数,在区间单调递增,在区间单调递减.
当时,为单调递减函数,即:
.
故:
是最大值为,是最小值为.即:
即:
(*)
(*)两式相减得:
,即:
则:
,即:
(*)两式相加得:
将式代入后化简得:
由得:
,.则区间为.
当、时,的最大值是,即:
.
.若,则的最小值为:
,
即:
,解之及可得:
,
故此时区间为.
.若则的最小值为:
,
即:
,
则:
.不符合题设,即此时无解.
当时,由是一个偶函数可得:
,故:
是最小值为,是最大值为,即:
即:
则:
为一元二次方程的两个根,
由韦达定理得:
,则由得:
异号,不符合题设,即此时无解.
综上,区间为或.本题采用“分别讨论法”和“极值法”.
9、已知:
,求函数的最大值.
解析:
由可知,函数的定义域是:
,
有均值不等式,即:
即:
即:
当时,,,即可以取到不等式的等号。
故:
函数的最大值是.本题采用,称为“均值不等式”.
10、求函数:
的最小值.
解析:
函数
其定义域为:
令:
,
则:
,,
于是:
当时,,即:
,
即:
,则:
所以,是可以取到的.故的最小值是.
正是由于时,函数取到极值,所以有人总结出此类题的解法用来解,即设,代入,后得:
即:
,即:
,
即:
,即:
,
这两个结果分别对应于的极小值
和的极大值.
本题采用的是“向量法”.
11、求函数:
的值域.
解析:
先求函数的定义域.定义域为:
本题采用判别式法解题.
由等价变形为:
即:
式上面方程有解得判别式是:
即:
,即:
故:
函数的值域为.此法称为“判别式法”
本题亦可以采用换元法和配方法来做.
令:
,则,
于是:
当时,即:
当时,达到极小值.此法就是“换元配方法”.
12、已知实数满足和,求的最小值.
解析:
由已知得:
则由柯西不等式得:
将、代入得:
即:
,即:
即:
其判别式为:
故:
方程等号下的两根为:
则:
根据柯西不等式等号成立的条件得:
代入式得:
,即:
代入式得:
,即:
由两式得:
,即:
即:
,即:
即:
,即:
,即:
则:
,此时:
;此为最大值.
,此时:
所以,的最小值为.此题解法为“柯西不等式”.
13、求函数:
的最小值.
解析:
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设:
,则柯西不等式为:
即:
则:
令:
,,则:
,
故:
设,则:
,,
则:
将、代入得:
柯西不等式中,等号成立的条件是:
即:
,则:
则:
,即:
即:
,即:
将和代入得:
即:
,即:
于是:
当,时,柯西不等式中,等号成立.
即:
的最小值是.
本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.
14、已知:
,求函数:
的最小值.
解析:
函数的定义域为:
,
由均值不等式,即:
得:
即:
,则:
当时,即:
、时,.
故:
函数的最小值是.此法采用“均值不等式法”.
15、已知点在椭圆上,求的最大值.
解析:
函数的定义域为:
,
由柯西不等式得:
即:
,即:
由柯西不等式的等号成立的条件得:
,即:
代入得:
,即:
,即:
则:
,于是,
当,时,
当,时,
所以,函数的最大值是.此法是用“柯西不等式”.
本题也可以采用“权方和不等式”
即:
,即:
此法为“权方和不等式”.
16、求函数:
的值域.
解析:
函数的定义域是:
.
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设:
,则柯西不等式为:
即:
令:
,则:
由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得:
,即:
,
即:
,则:
将代入得:
函数的极值为:
在区间,函数单调递增,故:
于是,函数在该区间的值域是.
在区间,函数单调递减,故:
于是,函数在该区间的值域是.
综上,函数的值域是.
此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”,最后用“单调性法”得到值域.
17、求函数:
的值域.
解析:
函数的定义域是:
.本题采用判别式法.
令:
则:
即:
,即:
即:
由的判别式得:
即:
,即:
,即:
故:
或,即:
或
由于式即的条件必须那满足,故.
此时,,函数的值域为.此法为“判别式法”.
18、求:
的最大值.
解析:
由均值不等式得:
所以,两边相加得:
在时,,即不等式的等号可以取到.
故:
的最大值为.此法为“均值不等式”.
19、设:
为正实数,且满足,
试求:
的最小值.
解析:
由均值不等式得:
……
不等式两边分别相加得:
即:
当时,,即不等式的等号可以取到.
故:
的最小值是.此法为“均值不等式”.
20、已知为正实数,且满足,
求:
的最大值.
解析:
由
由柯西不等式得:
即:
故:
因此,的最大值是.此法为“柯西不等式”.
21、设为锐角,求:
的最小值.
解析:
将与通分,并与最后一项合并得:
由得:
代入式得:
再由辅助角公式得:
代入式得:
由式及为锐角,当达到最大值时,达到最小值,
即:
当时,.
故,当时,达到最小值,最小值为.
此法为“辅助角公式法”.
22、设为锐角,求证:
.
解析:
因为为锐角,函数定义域为:
,所以,
构造函数:
则函数的导函数为:
因为:
,,,所以:
即:
在定义域区间,函数为单调递增函数,
故:
,即:
.证毕.
23、已知为正实数,求证:
.
解析:
采用待定系数法解本题:
令:
,(),则:
,
于是,
即:
令:
,则代入得:
,即:
,即:
将,代入式得:
.证毕.
此法为“待定系数法”.
另一种方法:
参数法
令:
,,代入得:
即证:
,即证:
,
即证:
即证:
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