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特别地,对上述问题,他给出了答案:
这比欧洲最早得到这个公式的德国数学家莱布尼茨早了300多年。
今年恰逢莱布尼茨(1646-1716)逝世300周年。
朱世杰:
我们的主人公朱世杰就是我要讲的故事的主人公,我们不仅仅要介绍他是如何得到立方求和公式(3)的,还要介绍他的方法(裂项求和)如何可以求出一般的前n个数的p次方的和,即如何得到这样的公式:
朱世杰现在对大家来说也许只是个陌生的名字,但我希望报告结束后你会得到这样的认识,他位列古代最伟大数学家的行列。
朱世杰生活的大时代
世界
中世纪(MiddleAges,大约500--1400)的漫漫长夜长达近千年,代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。
中世纪的数学最辉煌的地域是中国(宋元四大家)、印度(婆罗摩笈多)、波斯(海亚姆)、意大利(斐波那契)。
翻译传播希腊与印度的数学和科学。
中国
宋元(960-1279-1368)四百年是中国古代数学的黄金时代,涌现出四位大数学家,人称“宋元四大家”:
南宋:
李冶(1192-1279)、秦九韶(1202-1261)、杨辉(约1238-1298)元:
朱世杰(1249-1314)四人皆有著作,成就了中国古代数学的最高峰
评注1:
美国著名科学史家萨顿(G.Sarton,1884-1956)说过,秦九韶是“他那个民族,他那个时代最伟大的数学家之一。
”这个评价同样适用于李冶和朱世杰。
评注2:
“宋元四大家”中真正能称得上“大家”只有三位——秦九韶、李冶和朱世杰,而杨辉主要是数学教育家,把他算进来有点牵强。
此外,在四人中,我们对杨辉的生平也是了解最少的。
宋元四大家
1、宋元四大家之秦九韶
秦九韶,字道古,生于安岳(今四川安岳县)。
南宋数学家、官员。
代表作《数书九章》18卷(我表示遗憾:
北师大版高中数学教材必修5第51页居然说成《数学九章》!
)。
成就:
①中国剩余定理(秦九韶定理),比西方的欧拉早500年。
它包含在一个称为“大衍总数术”的巧妙算法中。
②高次方程的数值解法,比西方的霍纳早500年。
③三角形的海伦--秦九韶面积公式(据说这公式阿基米德也已经知道)
2、宋元四大家之李冶
李冶,字仁卿,栾城(今河北栾城县)人,南宋数学家、天文学家、历史学家,进士出身,曾有官职,后归隐封龙山收徒讲学。
著有《测圆海镜》、《益古演段》;
其贡献在于引入了名为“天元”(相当于“嫌疑人X”)的未知数概念,创立了利用未知数建立方程的方法(天元术),为几何的代数化铺平了道路。
此外,李冶还与秦九韶各自独立地引进记号〇表示空位。
至此,中国十进制完善了。
3、宋元四大家之杨辉
杨辉,字谦光,临安(今杭州)人,南宋数学家和数学教育家,曾担任地方官。
著有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》;
发扬光大了沈括、贾宪的数学成就。
此外,杨辉还是中国第一个系统研究幻方(Magicsquare)的人。
最早的幻方也出自中国,洛书,又称九宫格。
它也出现在金庸的《射雕英雄传》中,请看以下视频:
①将沈括《梦溪笔谈》中的“隙积术”普及,作为特例,他不仅给出了阿基米德的求和公式
(2),还给出了下述三角垛的求和公式沈括、杨辉所考虑的这类“堆垛”问题的推广,用现代术语来说即“高阶等差数列的求和”。
这一问题后来被朱世杰所创立的“垛积招差术”彻底解决,他所依赖的工具之一就是杨辉的另一项成就。
②从贾宪(现已失传)的工作中发掘出二项式系数的“贾宪三角”关系,今人称之为“杨辉三角”,因为它出现在杨辉的《详解九章算法》中。
西方称之为帕斯卡三角,事实上帕斯卡比杨辉都晚生了近400年。
先后有许多数学家独立发现这一结果,都说明了,这是一个基本的发现。
杨辉三角最基本的性质是(杨辉恒等式):
*维基百科中的帕斯卡三角:
https:
//en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
4、宋元四大家之朱世杰
朱世杰,字汉卿,燕山(今北京)人,元代数学家、教育家,毕生从事数学教育。
著有《算学启蒙》、《四元玉鉴》;
当代著名数学家吴文俊(中科院院士、2000年国家最高科学技术奖得主)对《四元玉鉴》有高度评价:
这本书标志着我国传统数学的顶峰。
吴文俊关于数学机械化的开创性工作,得益于朱世杰《四元玉鉴》求解多元多项式方程组的工作(“四元术”)以及20世纪美国数学家李特(J.F.Ritt)的工作。
①将李冶的天元术发展为四元术,用以求解多元多项式方程组。
所谓四元即四个未知数的名称,称之为天、地、人、物。
正是这项成就启发了吴文俊开创了数学机械化的工作。
小引:
清代数学家李善兰将26个拉丁字母依次翻译为十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)、十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)和四元(天、地、人、物)。
因此天、地、人、物恰好对应w,x,y,z,这几个字母常用来表示未知数。
Question1:
在干支纪年中,今年(2016)是什么年?
提示,你记得甲午战争是哪一年吗?
或者你看过这个段子吗?
让子弹飞:
炸在辛亥这个地方了!
Question2:
阿基米德生于公元前287年,朱世杰生于1249年,高斯生于1777年。
据说按照中国人的十二生肖,他们的属相相同。
请问:
是这样的吗,如果是,阿基米德、朱世杰和高斯都属啥?
②将沈括、杨辉的“隙积”、“堆垛”术系统发展,得到“垛积术”的基本关系式,也就是现在所谓的“朱世杰恒等式”,它是阿基米德求和式
(1)和杨辉三角垛求和公式(2*)的自然推广:
在朱世杰恒等式(A)中令p=1,2就得到阿基米德求和式
(1)和杨辉的三角垛求和公式(2*)。
[用字母C是因为它是组合单词combination的首字母。
]
“垛积”中的“垛”是高阶等差数列(高次多项式)的几何对应物,例如“三角垛”其实就是三角形数,回忆起阿基米德公式有各种各样的整数值多项式,从而有各种各样的垛状数(Figuratenumbers)。
见维基百科:
//en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number
“垛积”中的“积”其实是“求和”的意思。
因此“垛积”的意思就是高阶等差数列的求和。
“垛积术”的要诀就是今人所谓的“裂项求和”。
而如何“裂项”则是朱世杰的第3项成就。
这是本报告中最微妙的部分,接下来我们重点介绍。
③完善了元代郭守敬《授时历》中所用的招差术,得到了四阶等差数列的招差公式。
用现代数学术语来说,朱世杰的四阶招差公式相当于说:
若f(n)是一个四次多项式,则其中系数分别是f(n)的在原点n=0处的0次差分,1次差分,2次差分,3次差分,4次差分。
具体计算可依照差分表求出(参见陈景润《组合数学》)。
举例:
由于朱世杰完全掌握这一算法,可以我们有理由推断,他事实上得到了任意次数的多项式的招差公式,这个结果在西方最早由300多年以后的英国数学家格里高利和牛顿分别得到。
不过牛顿的同胞泰勒在牛顿差分公式的基础上更进一步(取极限)而得到了微积分的基本结果(泰勒定理)。
中国没有产生微积分。
朱世杰的招差术是离散的微分,朱世杰的垛积术是离散的积分,所以我们这里讲的就是离散的微积分。
它距离连续的微积分只有一步之遥。
有了招差术和垛积术,那么高阶等差数列(p阶等差数列的通项公式就是p次多项式f(n))的求和就是水到渠成的了。
例如,根据前面的结果,可以求得前n个数的四次方和公式朱世杰正是用同样的方法求得了前n个数的立方和公式(3)。
留给有兴趣的读者。
[一定要动手!
数学不是光靠看书听讲就能学会的。
动笔算过之后,印象会更深刻。
数学家的最重要的两样武器:
笔和纸。
类似的,可以想见,朱世杰的“垛积招差术”可以解决一般的p次幂求和这个问题朱世杰本人并未考虑,他留给了清代的李善兰。
不过在此之前,西方人(例如费马)已经解决了这个问题,因为他们要求幂函数在[0,1]上的面积。
这个公式称为福尔哈伯公式(Faulhaber’sformula)。
20世纪大数学家西格尔(Siegel)曾这样说:
第一个发现这个公式的人(可能是11世纪的埃及数学家海塞姆)必定博得了上帝的欢喜(ItpleasedthedearLord.)。
之所以一般用字母p表示幂次数,是因为幂的英文是power。
幂函数(powerfunction),杨幂=杨平方
秦九韶、李冶、朱世杰之比较
南秦北李一时瑜亮,相得益彰
秦九韶的《数书九章》与李冶的《测圆海镜》几乎同时完成,甚至不约而同地引入了记号〇,但他们从未提到对方的工作,也许他们根本不认识对方。
事实上,他们分别属于两个敌对的王朝,秦李二人的工作(求解与建立方程)互为补充,交相辉映。
二者合在一起,正是中国古代数学黄金时代的标志。
朱世杰集众家之大成后来居上
与宋代的秦、李、杨不同,朱世杰一生未入仕途,以数学名家之身份周游湖海二十余年,吸收并发展了秦、李、杨、郭的成就。
他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹联来形容:
地有南北,无疆域始成大业;
学无先后,有德才方是贤人。
道古桥的故事
当代数学家蔡天新是秦九韶超级粉丝,他曾“突发奇想”,建议并敦促杭州市政府为纪念秦九韶的道古桥复名立碑。
这一建议后来被采纳,并请数学家王元(华罗庚的弟子)题写了桥名。
这正是七百多年前的一段数学佳话的回响:
1238年,秦九韶回临安丁父忧,见河上无桥,两岸人民往来很不便,便亲自设计,再通过朋友从府库得到银两资助,在西溪河上造了一座桥。
桥建好后,原本没有名字,因桥建在西溪河上,习惯上被叫作“西溪桥”。
直到元代初,另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰来到杭州,才倡议将“西溪桥”更名为“道古桥”,以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶,并亲自将桥名书镌桥头。
秦九韶、朱世杰、王元和蔡天新,让道古桥变成了一座有故事的桥。
它起初只是横跨西溪,而如今已经纵贯古今,连接了前后七八百年的数学家,是数学史和数学文化的活字碑。
蔡天新教授在道古桥边留影(蔡天新教授提供)
数学在中国与西方地位之不同
数学在中国古代不受重视是有深刻的社会文化因素的,丘成桐先生在其文《数学和中国文学的比较》一文中有透辟的分析:
自古以来,中国儒家就将数学放在六艺之末,只是一门辅助性的学问。
当政者(更不用说等闲之辈)更视之为雕虫小技,与文学比较,连歌颂朝廷的功能都没有,政府对数学的重视直到近代才有极大的改进。
西方则不然,希腊哲学以数学为万学之基。
柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件,所以数学家占有崇高地位,数学因此在西方蓬勃发展了两千多年。
鲁豫有约:
数学家的艺术人生
宋元之后的数学
明朝数学
宋元之后,数学衰微了。
但明朝有两件事情对数学发展有重要的影响,特别值得一提。
⑴、《永乐大典》(成书11095册,“世界有史以来规模最大的百科全书”)的编撰,这让宋元时代以及更早的数学著作得以保存,可惜《永乐大典》留存不全,现存的除大陆和台湾,其它地方如日本、美国、英国、德国、越南、韩国都非法占有。
我们所展示的杨辉三角就取自英国
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