学年最新沪科版九年级数学上册《解直角三角形》单元达标检测及答案解析精编试题Word格式.docx

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，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是（　　）

A．a＝c·

sinBB．a＝c·

cosB

C．b＝c·

sinAD．b＝

5．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值是（　　）

6．如图所示，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，BC＝7，则△ABC的面积是（　　）

A.B．12C．14D．21

7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值是（　　）

A.B．2C.D.

8．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝（　　）

A．1B.C.D.

（第7题）

　　　　　　（第8题）

　　　　　　（第10题）

9．阅读材料：

因为cos0°

＝1，cos30°

＝，cos45°

＝，cos60°

＝，cos90°

＝0，所以，当0°

＜α＜90°

时，cosα随α的增大而减小．解决问题：

已知∠A为锐角，且cosA＜，那么∠A的取值范围是（　　）

A．0°

＜∠A＜30°

B．30°

＜∠A＜60°

C．60°

＜∠A＜90°

D．30°

10．如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°

，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°

.已知点A的高度AB为3m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为（　　）

A．6mB．7mC．8mD．9m

二、填空题（每题5分，共20分）

11．若∠A是锐角，且sinA是方程2x2－x＝0的一个根，则sinA＝________．

12．如图所示，在等腰三角形ABC中，tanA＝，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．

（第12题）

　　　　　　　　（第13题）

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，且sin30°

＝，sin45°

＝，sin60°

＝，cos30°

＝；

观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：

______________．

三、解答题（19～21题每题12分，22题14分，其余每题10分，共90分）

15．计算：

（1）2sin30°

＋cos45°

－tan60°

；

（2）tan230°

＋cos230°

－sin245°

tan45°

.

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，BC＝6，∠B＝60°

，解这个直角三角形．

17．（2015·

襄阳）如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：

（1）BC的长；

（2）sin∠ADC的值．

（第17题）

18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.

（1）求证：

AC＝BD；

（1）若sinC＝，BC＝12，求△ABC的面积．

（第18题）

19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°

，AB＝BC，AD＝7，tanA＝2.求CD的长．

（第19题）

20．（2015·

珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α＝45°

，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°

，求点E离地面的高度EF.（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）

（第20题）

21．（2014·

临夏）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°

.（参考数据：

sin75°

≈0.966，cos75°

≈0.259，tan75°

≈3.732）

（1）求车架档AD的长；

（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．

（第21题）　　

22．（2015·

重庆）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°

，渔船N的俯角β为45°

.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）．

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

（参考数据：

tan31°

≈0.60，sin31°

≈0.52）

（第22题）

答案

一、1.B

2．B　点拨：

由余弦定义可得cosA＝，因为AB＝10，AC＝6，所以cosA＝＝，故选B.

3．C　点拨：

因为tanα＝，所以AC＝AB·

tanα＝a·

tanα.

4．B　点拨：

在Rt△ABC中，∠C＝90°

，根据余弦的定义可得，cosB＝，即a＝c·

cosB.

5．A　点拨：

由题意可知m＝4.根据勾股定理可得OP＝5，所以sinα＝.

6．A　点拨：

过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝3x，∵cosB＝，∴∠B＝45°

，则BD＝AD＝3x.又sinC＝＝，∴AC＝5x，则CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故S△ABC＝AD·

BC＝.

7．B

8．C　点拨：

设BD＝x，则CD＝2－x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°

，∴DE＝BDsin60°

＝x，DF＝CDsin60°

＝.∴DE＋DF＝x＋＝.

9．C　点拨：

由0＜cosA＜，得cos90°

＜cosA＜cos60°

，故60°

10．D　点拨：

过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3m．设DE＝xm，在Rt△CDE中，CE＝＝xm．在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3m，∴BC＝3m．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝（x－3）m，∴AF＝＝（x－3）m．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴（x－3）＝3＋x，解得x＝9，∴这棵树DE的高度为9m.

二、11.　点拨：

解方程2x2－x＝0，得x＝0或x＝.因为∠A是锐角，所以0＜sinA＜1，所以sinA＝.

12．4　点拨：

∵tanA＝，∴∠A＝30°

.又AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°

，∴∠DBC＝60°

，∴CD＝BC·

sin∠DBC＝8×

＝4.

（第13题）

13.　点拨：

如图，过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan∠ADN＝＝.

14．sinA＝cosB

三、15.解：

（1）原式＝2×

＋×

－×

＝1＋1－3

＝－1.

（2）原式＝＋－×

1

＝＋－

＝.

16．解：

因为∠B＝60°

，所以∠A＝90°

－∠B＝90°

－60°

＝30°

因为sinA＝，所以＝，得AB＝12.

因为tanB＝，所以＝，得AC＝6.

17．解：

（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E.

∵cosC＝，∴∠C＝45°

在Rt△ACE中，CE＝AC·

cosC＝1，

∴AE＝CE＝1.

在Rt△ABE中，∵tanB＝，∴＝.

∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.

（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.

∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE.

又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°

.∴sin∠ADC＝.

18．

（1）证明：

∵AD⊥BC，∴tanB＝，cos∠DAC＝.

又tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.

（2）解：

由sinC＝＝，可设AD＝12x，则AC＝13x，由勾股定理得CD＝5x.由

（1）知AC＝BD，∴BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得x＝，∴AD＝8，∴△ABC的面积为×

12×

8＝48.

19．解：

如图所示，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°

，∴∠A＋∠DCB＝180°

，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：

（3x）2＝72＋142，解得x＝，∴CE＝×

＝，则CD＝14－＝.

20．解：

在Rt△ADB中，tan60°

＝，

∴DB＝＝41米．

又∵FB＝OE＝10米，

∴CF＝DB－FB＋CD＝41－10＋40＝（41＋30）（米）．

∵α＝45°

，∴EF＝CF≈100米．

答：

点E离地面的高度EF约为100米．

21．解：

（1）在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，

∴AD＝＝75（cm），

∴车架档AD的长是75cm.

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，

∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65（cm），

∴EF＝AEsin75°

＝65sin75°

≈62.79≈63（cm），

∴车座点E到车架档AB的距离约为63cm.

点拨：

解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算．

22．解：

（1）由题意得∠E＝90°

，∠PME＝α＝31°

，∠PNE＝β＝45°

，PE＝30米．

在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，

在Rt△PEM中，tan31°

＝，∴ME≈＝50（米）．

∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）．

两渔船M，N之间的距离约为20米．

（2）如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．

∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，

∴AG＝24×

0.25＝6（米）．

∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，

∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×

1.75＝42（米）．

∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）．

∴S△ADH＝AH·

DG＝×

36×

24＝432（平方米）．

∴需要