届高三数学一轮复习 第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式Word格式.docx
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数学归纳法
[重点关注]
1.从近五年全国卷高考试题来看,涉及本章知识的既有客观题,又有解答题.客观题主要考查不等关系与不等式,一元二次不等式的解法,简单线性规划,合情推理与演绎推理,解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明.
2.不等式具有很强的工具性,应用十分广泛,推理与证明贯穿于每一个章节,因此,不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查,对于证明,主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明.
3.从能力上,突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查.
[导学心语]
1.加强不等式基础知识的复习.不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据,要弄清不等式性质的条件与结论;
一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具;
如利用导数研究函数单调性,常常归结为解一元二次不等式问题.
2.强化推理证明和不等式的应用意识.从近年命题看,试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透,对不等式知识、方法技能要求较高.抓好推理论证,强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键.
3.重视数学思想方法的复习.明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程;
加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式、函数与方程三者密不可分,相互转化.
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>
b⇔a-b>
0;
(2)a=b⇔a-b=0;
(3)a<
b⇔a-b<
0.
2.不等式的性质
(1)对称性:
a>
b⇔b<
a;
(双向性)
(2)传递性:
b,b>
c⇒a>
c;
(单向性)
(3)可加性:
b⇔a+c>
b+c;
b,c>
d⇒a+c>
b+d;
(4)可乘性:
0⇒ac>
bc;
b,c<
0⇒ac<
b>
0,c>
d>
bd;
(5)乘方法则:
0⇒an>
bn(n≥2,n∈N);
(6)开方法则:
0⇒>
(n≥2,n∈N);
(7)倒数性质:
设ab>
0,则a<
b⇔>
.(双向性)
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
4.用程序框图表示一元二次不等式ax2+bx+c>
0(a>
0)的求解过程
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
b⇔ac2>
bc2.( )
(2)a>
.( )
(3)若不等式ax2+bx+c<
0的解集为(x1,x2),则必有a>
0.( )
(4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>
0的解集为R.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)下列四个结论,正确的是( )
①a>
d⇒a-c>
b-d;
②a>
0,c<
d<
③a>
;
④a>
.
A.①② B.②③
C.①④D.①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确;
对于②,根据不等式的性质可知ac<
bd,故②不正确;
因为函数y=x是单调递增的,所以③正确;
对于④,由a>
0可知a2>
b2>
0,所以<
,所以④不正确.]
3.(2016·
吉林长春二模)若a,b∈R,且a>
b,则下列不等式恒成立的是( )
A.a2>
b2B.>
1
C.2a>
2bD.lg(a-b)>
C [取a=-1,b=-2,排除A,B,D.故选C.]
4.(2015·
广东高考)不等式-x2-3x+4>
0的解集为________________.(用区间表示)
(-4,1) [由-x2-3x+4>
0得x2+3x-4<
0,解得-4<
x<
1,所以不等式-x2-3x+4>
0的解集为(-4,1).]
5.若不等式mx2+2mx+1>
0的解集为R,则m的取值范围是__________.
【导学号:
01772195】
[0,1) [①当m=0时,1>
0显然成立;
②当m≠0时,由条件知得0<
m<
1,
由①②知0≤m<
1.]
不等式的性质及应用
(1)(2016·
北京高考)已知x,y∈R,且x>
y>
0,则( )
A.->
0 B.sinx-siny>
C.x-y<
0D.lnx+lny>
(2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
(1)C [函数y=x在(0,+∞)上为减函数,∴当x>
0时,x<
y,即x-y<
0,故C正确;
函数y=在(0,+∞)上为减函数,由x>
0⇒<
⇒-<
0,故A错误;
函数y=sinx在(0,+∞)上不单调,当x>
0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误;
x>
0⇒xy>
0⇒/ln(xy)>
0⇒/lnx+lny>0,故D错误.]
(2)由题意知f(-1)=a-b,f
(1)=a+b,
f(-2)=4a-2b.3分
设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,
则解得8分
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f
(1)+3f(-1).10分
∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10,
即f(-2)的取值范围为[5,10].12分
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质,要弄清其条件和结论,不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面,单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的依据,因为解不等式要求的是同解变形.
2.判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.
3.由a<
f(x,y)<
g(x,y)<
d求F(x,y)的取值范围,要利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
[变式训练1]
(1)(2016·
河南六市2月模拟)若<
<
0,则下列结论不正确的是( )
A.a2<
b2 B.ab<
b2
C.a+b<
0D.|a|+|b|>
|a+b|
(2)已知“-1<
x+y<
4,2<
x-y<
3”,求3x+2y的取值范围.
(1)D [由题可知b<
a<
0,所以A,B,C正确,而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,选D.]
(2)设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),
则∴3分
即3x+2y=(x+y)+(x-y),
又-1<
3,
∴-<
(x+y)<
10,1<
(x-y)<
,8分
(x+y)+(x-y)<
,
即-<
3x+2y<
故3x+2y的取值范围为.12分
一元二次不等式的解法
解下列不等式:
(1)3+2x-x2≥0;
(2)x2-(a+1)x+a<
[解]
(1)原不等式化为x2-2x-3≤0,
即(x-3)(x+1)≤0,
故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.6分
(2)原不等式可化为(x-a)(x-1)<
0,
当a>
1时,原不等式的解集为(1,a);
当a=1时,原不等式的解集为∅;
当a<
1时,原不等式的解集为(a,1).12分
[迁移探究] 将
(2)中不等式改为ax2-(a+1)x+1<
0,求不等式的解集.
[解] 若a=0,原不等式等价于-x+1<
0,解得x>
1.
若a<
0,原不等式等价于(x-1)>
解得x<
或x>
1.3分
若a>
0,原不等式等价于(x-1)<
①当a=1时,=1,(x-1)<
0无解;
②当a>
1时,<
1,解(x-1)<
0得<
1;
③当0<
1时,>
0得1<
.10分
综上所述:
0时,解集为;
当a=0时,解集为{x|x>
1};
当0<
1时,解集为;
当a=1时,解集为∅;
1时,解集为.12分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤:
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数.
(2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判别式法.
(3)写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式的步骤:
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[变式训练2] (2016·
黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2-bx-1>
0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是( )
A.{x|2<
3} B.{x|x≤2或x≥3}
C.D.
B [∵不等式ax2-bx-1>
0的解集是,
∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<
∴解得
则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.]
一元二次不等式恒成立问题
☞角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
(2016·
甘肃白银会宁一中月考)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<
0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________.
01772196】
(-2,2] [当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<
0,对一切x∈R恒成立,
当a≠2时,则有
即∴-2<
2.
综上,可得实数a的取值范围是(-2,2].]
☞角度2 形如f(x)≥0求参数的范围
设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<
-m+5恒成立,求m的取值范围.
[解] 要使f(x)<
-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m2+m-6<
0在x∈[1,3]上恒成立.3分
有以下两种方法:
法一:
令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>
0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<
所以m<
,所以0<
7分
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