人教A版必修一高中数学单元测试第一章集合与函数概念二A卷 及答案Word下载.docx
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C.0,b-a]D.-a,a+b]
7.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( )
A.3x+2B.3x+1C.3x-1D.3x+4
8.设f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,若x1<
0,且x1+x2>
0,则( )
A.f(x1)>
f(x2)B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)<
f(x2)D.无法比较f(x1)与f(x2)的大小
9.已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为( )
10.若φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有( )
A.最小值-5B.最大值-5
C.最小值-1D.最大值-3
11.已知f(x)为奇函数,在区间3,6]上是增函数,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=( )
A.-15B.-13C.-5D.5
12.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f
(1)=0,则不等式<
0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为________.
14.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),则下列各式恒成立的是________.
①f(0)=0;
②f(3)=3f
(1);
③f=f
(1);
④f(-x)·
f(x)<
0.
15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
16.若函数f(x)=x2-(2a-1)x+a+1是(1,2)上的单调函数,则实数a的取值范围为______________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知二次函数f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2.
(1)若函数的图象经过原点,且满足f
(2)=0,求实数m的值;
(2)若函数在区间2,+∞)上为增函数,求m的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性;
(3)求证:
f=-f(x).
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数,且在定义域上单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
20.(本小题满分12分)
已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)当x<
0时,求f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)为增函数,f(x·
y)=f(x)+f(y).
(1)求证:
f=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1,且f(a)>
f(a-1)+2,求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=,x∈1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈1,+∞),f(x)>
0恒成立,试求实数a的取值范围.
详解答案
1.D 解析:
由2x-3>
0得x>
.
2.C 解析:
如果x=2与函数y=f(x)有公共点,则只有一个公共点,因为自变量取一个值只对应一个函数值;
若无交点,则没有公共点,此时的x=2不在y=f(x)的定义域内.
3.C 解析:
函数y=(x-2)2-3在2,+∞)上是增函数,所以最小值为f
(2)=-3,又x∈2,5],故最大值为f(5)=6.
4.C 解析:
∵x=-2<
0,∴f(-2)=(-2)2=4.
又4>
0,∴f(f(-2))=f(4)=4.
5.C 解析:
由f(x)=可画出简图.
分析知C正确.
6.B 解析:
y=f(x+a)可由y=f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位得到,因此,函数y=f(x+a)的值域与y=f(x)的值域相同.
7.C 解析:
设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,
∴f(x)=3x-1,故选C.
解题技巧:
采用换元法求函数解析式是常用方法.换元时,一定注意自变量的取值范围的变化情况.
8.C 解析:
x1<
0,∴x1>
-x2.
又f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴f(x1)<
f(-x2).
又f(x)是偶函数,∴f(x1)<
f(x2).
9.D 解析:
由反比例函数的图象知k<
0,∴二次函数开口向下,排除A,B,又对称轴为x=<
0,排除C.
10.C 解析:
由已知对任意x∈(0,+∞),f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≤5.
对任意x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),且φ(x),g(x)都是奇函数,
有f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+2≤5.即-aφ(x)-bg(x)+2≤5,
∴aφ(x)+bg(x)≥-3.
∴f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1.
11.A 解析:
因为函数在3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×
8+1=-15,故选A.
12.D 解析:
∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x),
∴=<
0,即或
因为f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数,故f(x)在(-∞,0)上是增函数.
由f
(1)=0知f(-1)=0,
∴可化为∴0<
x<
1;
可化为∴-1<
13. 解析:
由-1<
2x+1<
0,解得-1<
-,故函数f(2x+1)的定义域为.
已知f(x)的定义域为a,b],求f(g(x))的定义域,可从a≤g(x)≤b中解得x的取值范围,即为f(g(x))的定义域.
14.①②③ 解析:
令x=y=0,得f(0)=0;
令x=2,y=1,得f(3)=f
(2)+f
(1)=3f
(1);
令x=y=,得f
(1)=2f,∴f=f
(1);
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),
∴f(-x)·
f(x)=-f(x)]2≤0.
15.-2x2+4 解析:
f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2为偶函数,则2a+ab=0,∴a=0或b=-2.
又f(x)的值域为(-∞,4],∴a≠0,b=-2,∴2a2=4.
∴f(x)=-2x2+4.
16.a≥或a≤ 解析:
函数f(x)的对称轴为x==a-,
∵函数在(1,2)上单调,∴a-≥2或a-≤1,即a≥或a≤.
17.解:
(1)∵f(0)=0,f
(2)=0,∴∴m=1.
(2)∵y=f(x)在2,+∞)为增函数,
∴对称轴x=-≤2,
∴m≥0.
18.
(1)解:
由1-x2≠0得x≠±
1,
∴f(x)的定义域为{x|x≠±
1,x∈R}.
(2)解:
f(x)是偶函数,证明如下:
设x∈{x|x≠±
1,x∈R},则-x∈{x|x≠±
∵f(-x)===f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)证明:
∵f====-=
-f(x),∴f=-f(x)成立.
19.解:
(1)由题意可知
∴解得<
故函数f(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
∴f(x-1)≤-f(3-2x).
∵f(x)为奇函数,∴f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上单调递减,
∴解得<x≤2.
∴g(x)≤0的解集为.
20.解:
0时,-x>
0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴当x<
0时,f(x)=x2+2x.
(2)由
(1)知,f(x)=
作出f(x)的图象如图所示.
由图得函数f(x)的递减区间是(-∞,-1],0,1].
f(x)的递增区间是-1,0],1,+∞).
21.
(1)证明:
∵f(x)=f=f+f(y)(y≠0),
∴f=f(x)-f(y).
∵f(3)=1,∴f(9)=f(3·
3)=f(3)+f(3)=2.
∴f(a)>
f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f9(a-1)].
又f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,
∴∴1<
a<
22.解:
(1)当a=时,f(x)=x++2,
设x2>
x1>
1,则f(x2)-f(x1)=x2++2-
=(x2-x1)+=(x2-x1).
∵x2>
∴x2-x1>
0,<
,1->
∴f(x2)-f(x1)>
∴f(x)在1,+∞]上单调递增.
∴f(x)在区间1,+∞)上的最小值为f
(1)=.
(2)在区间1,+∞)上,f(x)=>
0恒成立,
等价于x2+2x+a>
0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈1,+∞).
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在1,+∞)上单调递增,
∴当x=1时,ymin=3+a.
于是,当且仅当ymin=3+a>
0时,f(x)>
∴a>
-3.
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题,分离参数法是求解此类问题的常用方法.
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