六年级下册奥数专题练习数的整除性规律全国通用Word格式.docx
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43586775的末两位数为75,25|75,则25|
43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字为0,或者末三位数能被8或125整除时,这个数便能被8或125整除。
例如,32178000的末三位数字为0,则这个数能被8整除,也能够被125整除。
3569824的末三位数为824,8|824,则8|3569824。
214813750的末三位数为750,125|750,则125|214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时,这个数就能被7、11、13整除。
例如,75523的末三位数为523,末三位以前的数字所表示的数是75,523-75=448,448÷
7=64,即
7|448,则7|75523。
又如,1095874的末三位数为874,末三位以前的数字所表示的数是1095,1095-874=221,221÷
13=17,即
13|221,则13|1095874。
再如,868967的末三位数为967,末三位以前的数字所表示的数是868,967-868=99,99÷
11=9,即
11|99,则11|868967。
此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:
一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时,则这个数便能被11整除。
例如,4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14,
偶数位上数字之和为2+9+3=14,
二者之差为14-14=0,0÷
11=0,
即11|0,则11|4239235。
26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条:
(1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。
(2)把小数点向右移动n位,小数就扩大10n倍;
把小数点向左移动n位,小数就缩小10n倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,分数的大小不变。
即
【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数的“去九数”,或者叫做“9余数”。
求一个数的“去九数”,一般不必去除,只要把该数的各位数字加起来,再减去9的倍数,就得到该数的“去九数”。
(求法见本书第一部分“(四)法则、方法”“2.运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。
)去九数有两条重要的性质:
(1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。
(2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。
这两条重要性质,是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
(1)奇数平方的性质。
任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢?
这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。
而
(2k+1)2=4k2+4k+1
=4k(k+1)+1
k与k+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4k(k+1)是8的倍数,能被8整除,所以“4k(k+1)+1”,即(2k+1)2能被8除余1,也就是任何一个奇数的平方被8除余1。
例如,272=729
729÷
8=91……1
(2)偶数平方的性质。
任何一个偶数的平方,都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k(k为整数)表示,而(2k)2=4k2
显然,4k2是4的倍数,即偶数的平方为4的倍数。
例如,2162=46656
46656÷
4=11664
即4|46656
【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:
(1)两个偶数的和或差是偶数;
两个奇数的和或差也是偶数。
(2)一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
(3)两个奇数之积为奇数;
两个偶数之积为偶数。
(4)一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第(4)条性质,还可以推广到:
若干个整数相乘,只要其中有一个整数是偶数,那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有:
(1)若干个偶数的和或者差是偶数。
(2)若干个偶数的积是偶数。
例如,四个偶数38、126、672和1174的和,是偶数2010;
用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差,也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有:
(1)奇数个奇数的和(差)是奇数;
偶数个奇数的和(差)是偶数。
(2)若干个奇数的积是奇数。
数的大小概念
【比较分数大小】用常规方法比较分数大小,有时候速度很慢。
采用下述办法,往往可大大提高解题的速度。
(1)交叉相乘。
把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘,然后
2×
5=10,3×
3=9,3×
8=24,5×
5=25,
之所以能这样比较,是由于它们通分时,公分母是分母的乘积。
这时,分数的大小就只取决于分子的大小了。
(2)用“1”比较。
当两个分数都接近1,又不容易确定它们的大小
(4)化相同分子。
把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。
有时
序排列起来:
(5)两分数相除。
用两个分数相除,看它们的商是大于1还是小于1,往往能快速地找出它们的大小关系。
由于这样做,省略了通分的过程,所以
显然,将它们反过来相除,也是可以的:
【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出,比较它们的大小,有一定难度。
这时,可按下面的办法去做:
(1)先看分子是1的情况。
例如下题:
第一种方法是直观比较。
先画线段图(图4.4):
由对线段图的直观比较可知,乙数大于甲数。
数。
可知
(2)再看分子不是1的情况。
它同样也可以用四种方法比较大小。
比方
用直观比较方法,可画线段图如下(图4.5):
由图可知,甲数大于乙数。
用统一分子的方法,也可比较它们的大小。
因为
用图表示就是图4.6:
这就是说,把甲数分为9份,乙数分为8份,它们的6份相等。
所以,它们每一份也相等。
而甲数有9份,乙数只有8份,故甲数大于乙数。
去,即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。
由题意可知
根据一个因数等于积除以另一个因数,可得
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