版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布103二项式定理学案理Word文档格式.docx
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2.教材衍化
(1)(选修A2-3P30例1)6的展开式的常数项为( )
A.-192x2B.240xC.-160D.
答案 C
解析 6的展开式的通项为Tr+1=C
(2)6-rr=(-1)r26-rCx3-r(r=1,2,…,6),所以当r=3时为常数项,此时T4=-23×
C=-160,故选C.
(2)(选修A2-3P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为( )
A.第六项B.第五项和第六项
C.第五项和第七项D.第六项和第七项
解析 二项展开式的通项为Tr+1=Cx10-r(-x-)r=(-1)rC·
x10-r,每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等,由二项式系数性质,知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C,但第六项系数为-C,显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为C=C,再由二项式系数的增减性规律可知选C.
3.小题热身
(1)(2017·
全国卷Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80B.-40C.40D.80
解析 因为x3y3=x·
(x2y3),其系数为-C·
22=-40,
x3y3=y·
(x3y2),其系数为C·
23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.
故选C.
(2)(2017·
山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.
答案 4
解析 (1+3x)n的展开式的通项为Tr+1=C(3x)r.令r=2,得T3=9Cx2.由题意得9C=54,解得n=4.
题型1 二项展开式
角度1 求二项展开式中的特定项或系数
(2016·
全国卷Ⅰ)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)
答案 10
解析 Tr+1=C(2x)5-r·
()r=25-rC·
x5-,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
角度2 已知二项展开式某项的系数求参数
(2015·
湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a=( )
A.B.-C.6D.-6
答案 D
解析 5的展开式的通项为Tr+1=C()5-r·
r=(-a)rC·
x.
依题意,令5-2r=3,得r=1,
∴(-a)1·
C=30,a=-6,故选D.
角度3 多项展开式
全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20C.30D.60
解析 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为CC=30,故选C.
方法技巧
1.求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简.
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;
求有理项时,指数为整数等),解出k.
(3)代回通项得所求.见角度1典例.
2.求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法
(1)对于三项式问题,一般先变形化为二项式,再用通项公式求解,或用组合知识求解.见角度3典例.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般对某个因式用通项公式,再结合与其他因式相乘情况求解特定项,或根据因式连乘的规律,结合组合知识求解,但要注意适当地运用分类思想,以免重复或遗漏.见冲关针对训练2.
(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项,再求和即可.
冲关针对训练
1.(2014·
湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.2B.C.1D.
解析 Tr+1=C·
(2x)7-r·
r=27-rCar·
.令2r-7=3,则r=5.由22·
Ca5=84得a=1,故选C.
2.(2014·
全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
答案 -20
解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·
Cxy7-y·
Cx2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C-C=C-C=8-28=-20.
题型2 二项式系数的性质或各项系数的和
湖北高考)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212B.211C.210D.29
解析 ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C,C,∴C=C,得n=10.
对(1+x)10,
令x=1,得(1+1)10=C+C+C+C+…+C=210,①
令x=-1,得(1-1)10=C-C+C-…+C=0,②
利用①+②可得2×
(C+C+…+C)=210,
∴奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.故选D.
已知n的展开式中前三项x的系数为等差数列,则二项式系数最大项为________.
答案 x
解析 ∵C=1,C=,C2=n(n-1),
由题设可知2·
=1+n(n-1),n2-9n+8=0,
解得n=8或n=1(舍去).
所以二项式系数的最大项为C4=x.
[结论探究] 典例2中条件不变,试求展开式中系数最大的项.
解 设第r+1项的系数Tr+1最大,显然Tr+1>
0,
故有≥1且≤1,
∵==,
由≥1,得r≤3.
又∵==,
由≤1,得r≥2.
∴r=2或r=3,所求项为T3=7x和T4=7x.
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如:
(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.
(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.见典例1.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
(1)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f
(1).
(2)奇数项系数之和为
a0+a2+a4+…=.
(3)偶数项系数之和为
a1+a3+a5+…=.
1.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5B.6C.7D.8
答案 B
解析 由题意得a=C,b=C,所以13C=7C,∴=,∴=13,解得m=6,经检验为原方程的解,故选B.
2.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.
解析 解法一:
(通法)将f(x)=x5进行转化,利用二项式定理求解.
f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tr+1=C(1+x)5-r·
(-1)r,T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,
∴a3=10.
解法二:
(赋值法)对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5两边连续对x求导三次得:
60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2,再令x=-1得60=6a3,即a3=10.
题型3 二项式定理的应用
(1)求证:
n∈N且n≥3时,2n-1≥n+1;
(2)求证:
32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除;
(3)计算1.056.(精确到0.01)
解
(1)证明:
n≥3时,2n=(1+1)n
=1+n+C+…+n+1≥2+2n,∴2n-1≥n+1.
(2)证明:
原式=(1+8)n+1-8n-9
=1+C81+C82+…+C8n+1-8n-9
=C82+C83+…+C8n+1
=64(C+C8+…+C8n-1).
∵C,C,…,C均为自然数,上式各项均为64的整数倍,
∴32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
(3)1.056=(1+0.05)6=1+6×
0.05+15×
0.052+…=1+0.3+0.0375+…≈1.34.
二项式定理应用的常见题型及求解策略
1.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中关注展开式的最后几项,而求近似值则关注展开式的前几项.见本典例
(2).
2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
3.(a+b)n的展开式共有n+1项,故可通过对某些项的取舍来放缩,达到证明不等式的目的.见本典例
(1).
4.利用二项式定理进行近似计算:
当n不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.若精确度要求较高,则可使用更精确的公式(1+x)n≈1+nx+x2.见本典例(3).
1-90C+902C-903C+…+(-1)k·
90kC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1B.1C.-87D.87
解析 1-90C+902C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.故选B.
1.(2017·
全国卷Ⅰ)(1+x)6展开式中x2的系数为( )
A.15B.20C.30D.35
解析 因为(1+x)6的通项为Cxr,所以(1+x)6展开式中含x2的项为1·
Cx2和·
Cx4.
因为C+C=2C=2×
=30,所以(1+x)6展开式中x2的系数为30.故选C.
2.(2018·
山西四校联考)若n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于( )
A.3B.4C.5D.6
解析 Tr+1=C(x6)n-rr=Cx6n-r,当Tr+1是常数项时,6n-r=0,即n=r,又n∈N*,故当r=4时,n的最小值为5,故选C.
3.(2018·
福建漳州模拟)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为( )
A.-20B.0C.1D.20
解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C×
21×
(-1)9=-2
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