力学第五章Word文件下载.docx

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拉力所做的功是多少？

（1）小球角动量守恒：

①

由牛顿第二定律：

最初②

又②解出代入①得

（2）拉力所作的功

5.1.8一个质量为m的质点在O-xy平面内运动，其位置矢量为

其中a,b和是正常数，试以运动学及动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒.

（1）以运动学观点证明

质点对坐标原点的角动量为：

=常矢量（守恒）

（2）以动力学观点证明

质点对坐标原点的力矩为：

由常矢量（守恒）

5.1.9质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连.弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度如图所示.当小球的速度变为时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速度及初速度.

由角动量守恒：

（1）

再由机械能守恒：

（2）

联立求解：

一条不可伸长的绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一个质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动.最初，后来继续向下拉绳使小球以沿水平圆周运动.求小球最初的速度、最后的速度、以及绳对小球做的总功.

初时，指向圆心。

最后，

同样可求得：

小球对轴角动量守恒：

即

（2）

（1）

（2）

由动能定理:

5.2.1离心调速器模型如图所示.由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内绕AB逆时针做匀速圆周运动，当角速度为时，杆张开角.杆长为.杆与转轴在B点相交.求

（1）作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩.

（2）小球在图示位置对A点、B点及AB轴的角动量.杆质量不计.

5.2.2理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘.用轻线拴住轻弹簧使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放置在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码.另一砝码盘上也放质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求砝码升起的高度.已知弹簧劲度系数为k被压缩的长度为.

以滑轮、绳、两个砝码盘、两个物体、弹簧为物体系。

受外力有：

两个砝码盘和两个物体受到的重力

，滑轮轴的压力。

建立坐标，如图，以轻线燃短到砝码与弹簧脱离为过程始末。

因物体系所受对O点合外力矩为零。

物体系对O点角动量守恒：

设砝码弹出时砝码盘速率为，砝码速率为，滑轮半径为，则有：

即

在过程中砝码盘位移为，砝码位移为

则

而

故

将地球包括在物体系内：

此时受外力，不做功。

重力和弹性力为内保守力，做功。

物体系机械能守恒。

以弹簧自由伸长状态为弹性势能零点。

则：

在研究砝码相对于地的上抛过程

由运动学公式：

可以求得

当

5.2.3两个滑冰于动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m.当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转.

（1）在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少？

抓住之后是多少？

（2）他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？

（3）绳长为5m时，绳内张力多大？

（4）二人在收拢绳索时，各做了多少功？

（5）总动能如何变化？

以两运动员和绳为物体系；

受外力包括：

重力

，冰面支持力。

。

因，由质心定义可知，物体系质心位于绳的中点。

由质心运动定理，质心速度

（1）抓住绳之前

对O点角动量，

抓住绳之后

因受到的对O点的合力矩为零，故对O点的角动量守恒。

且可知

（2）收拢绳索的过程，由对O点的角动量守恒。

（3）绳长5m时，由牛顿第二定律：

（4）由动能定理：

第一题 

3-1 

质量为的物体，由水平面上点以初速为抛出，与水平面成仰角。

若不计空气阻力，求：

（1）物体从发射点到最高点的过程中，重力的冲量；

（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。

题3.1

分析：

重力是恒力，因此，求其在一段时间内的冲量时，只需求出时间间隔即可。

由抛体运动规律可知，物体到达最高点的时间，物体从出发到落回至同一

水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍。

这样，按冲量的定义即可求出结果。

另一种解的方法是根据过程的始、末动量，由动量定理求出。

解1：

物体从出发到达最高点所需的时间为

则物体落回地面的时间为

于是，在相应的过程中重力的冲量分别为

解2：

根据动量定理，物体由发射点O运动到A、B的过程中，重力的冲量分别为

第二题 

3-2 

高空作业时系安全带是非常必要的。

假如一质量为的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。

已知此时人离原处的距离为，安全带弹性缓冲作用时间为。

求安全带对人的平均冲力。

题3.2解1：

以人为研究对象，在自由落体运动过程中，人跌落至2m处时的速度为

在缓冲过程中，人受重力和安全带冲力的作用，根据动量定理，有

由

（1）式、

（2）式可得安全带对人的平均冲力大小为

从整个过程来讨论，根据动量定理有

第三题 

3-3 

如图所示，在水平地面上，有一横截面的直角弯管，管中有流速为的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

题3.3

解：

在时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为,弯曲部分AB的水的动量的增量则为

依据动量定理，得到管壁对这部分水的平均冲力

从而可得水流对管壁作用力的大小为

作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

第四题 

3-4 

一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。

爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为。

问第二块落在距抛出点多远的地面上？

（设空气的阻力不计）

题3.4

取如图示坐标，根据抛体运动的规律，爆炸前，物体在最高点A的速度的水平分量为

物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为

当该碎片落地时，有，则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度

又根据动量守恒定律，在最高点处有

（3）

（4）

联立解式

（1）、

（2）、（3）和（4），可得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为

爆炸后，第二块碎片斜抛运动，其运动方程为

落地时，，由（5）、（6）可解得第二块碎片落地点的水平位置

第五题 

3-5 

、两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递的重物，结果是船停了下来，而船以的速度继续向前驶去。

、两船原有质量分别为和，求在传递重物前两船的速度。

（忽略水对船的阻力）

题3.5分析：

由于两船横向传递的速度可略去不计，则对搬出重物后的船A与从船B搬入的重物所组成的系统I来讲，在水平方向上无外力作用，因此，它们相互作用的过程中应满足动量守恒；

同样，对搬出重物后的船B与从船A搬入的重物所组成的系统II亦是这样。

由此，分别列出系统I、II的动量守恒方程即可解出结果。

设A、B两船原有的速度分别以vA、vB表示，传递重物后船的速度分别以v'

A、v'

B表示，被搬运重物的质量以m表示。

分别对上述系统I、II应用动量守恒定律，则有

（1）

（2）

由题意知v'

A=0，v'

B=3.4m⋅s-1代入数据后，可解得

也可以选择不同的系统，例如，把A、B两船（包括传递的物体在内）视为系统，同样能满足动量守恒，也可以列出相应的方程求解。

第六题 

3-6 

质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用与水平面成角的速率向前跳去。

当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出。

问：

由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？

（假设人可视为质点）

题3.6

取如图所示坐标。

把人与物体视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物过程中，满足动量守恒，故有

式中v为人抛物后相对地面的水平速度，v－u为抛出物对地面的水平速度。

得

人的水平速度的增量为

而人从最高点到地面的运动时间为

所以，人跳跃后增加的距离

第七题 

3-7 

铁路上有一静止的平板车，其质量为，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。

现有个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为，相对平板车的速度均为。

在下列两种情况下，

（1）个人同时跳离；

（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?

所得的结果为何不同，其物理原因是什么?

题3.7解：

取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。

考虑N个人同时跳车的情况，这跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得

又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。

设当平板车上尚有n个人时的速度为vn，跳下一人后车速为vn-1，在这一次跳车过程中，根据动量守恒有

由式

（2）可解得递推公式

显然，当车上有N个人时（即n=N），因尚未有人跳离平板车，故vN=0；

而车上N个人全跳完时，车速为v0。

根据（3）有

……

将上述各等式的两侧分别相加，整理后得

由于

故有 

即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速v0大于N个人同时跳下时平板车的末速v。

这是因为在N个人逐一跳离车时，车队地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也在逐次增大，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。

第八题 

3-8 

如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。

若用的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右加速运动，当系在物体上的绳索从水平面成角变为角时，力对物体所作的功为多少？

已知滑轮与水平面之间的距离为1m。

题3.8