动力气象学第四章习题ALL.docx
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动力气象学第四章习题ALL
第四章P坐标,铅直坐标变换习题答案
1、试说明静力平衡人气中气压场与温度场之间的关系、等压面高度与温度的关系。
?
答:
〔1〕气压场与温度场之间的关系如下:
在铅直方向,等压面之间的厚度完全决定于两等压面之间的温度铅直分布。
〔2〕等压面的高度与平均温成正比,平均温度越高等压面越高,反之等压面高度愈低。
2、什么是等高面图,什么是等压面图?
采用等压面图分析气压形势的依据是什么?
答:
〔1〕在一张待制的地图〔称天气底图〕上,填写各测站上空某一确定高度上探测到气压值,并按一定的气压间隔〔如间隔2。
5hpa或间隔5hpa〕分析等压线,便得到一张等高面气压形势图,即等高面图,实际天气预报业务工作中只分析海平面〔z=0〕气压形势图,并俗称地面图。
〔2〕等压面分析是以一个确定的等压面作为分析对彖。
将不同高度的等高面与空间一确定的等压面相截,相截的曲线就是等压面上高度相等的连线等高线,将各等高线投影在天气底图上,这就是该等压面的绝对形势图,通常称等压面图。
〔3〕采用等压面分析气压形势的依据是:
大气在相当程度上满足静力平衡,在此平衡根底上,气压和高度之间存在确定的函数关系,所以等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。
3、如何理解等压面图上分析的等高线也是等压线?
如何理解等压面图上分析的等温线,也是等位温线、等密度线、等饱和比湿线。
答:
〔1〕人气在相当程度上满足静力平衡,在此平衡根底上,气压和高度之间存在确定的函数关系,所以等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。
〔2〕位温公式的定义,
〔3〕状态方程
〔4〕饱和比湿的定义
4、为什么说等压面图上等高线愈密集地区水平气压梯度力愈大。
等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。
等压面图上等高线越密集说明在相同的高度内气压变化的就越人,也就是说气压梯度就越人。
5、分别说明建立p坐标系和0坐标系的物理条件。
答:
(1)
我们知道,对于大、中尺度运动,大气具有静力平衡性质,=一%VO,气压户髓离度单惆递牍,因此我们说静力平窝是建立〃坐标泵的密理根底。
(2)
位温在稳定层结条件下,有黔A0,即0是丫的单调递增函数,故8也可做为铅直坐
标变量。 6、p坐标系的优点有哪些,缺乏之处是什么? 答: (1) 1P坐标系中的大气运动方程组减少了一场变量宀幣度的勒响隐含在等压位势变化之中,气压梯度力项成为线性项,形式简单, 2连续方程具有絞简单的形式,成了一个诊断方程,大气运动方程组只由三个预报方程,两个诊断方程构成; 3日希气彖业务工作采用的筹压面分析方法,便于利用P坐标系方程组迸行诊断卄算与分析) 4等压面相对水平面的坡度很小■可以认为是准水平的,因此•虽然在P坐标系中分折的是等压面上要索分布的特征不易给人有直观理解,但由于等压面是准水平的,它近似反映了等压面平均高度上的要索水平分布恃征。 (2) P坐标系这些优点是以难以正确地给出下边界条件为代价换取的。 大气下边界不是坐标面“随时间和空间点面变化•在地形起伏地区•不仅与山地相戴形成许多“空洞化且这曲空洞范国随时间变化•因面很难给出正确的边界条件。 此外•对于小尺度运动不满足静力平衡条件,自然不能用P坐标系运动方棵组来描述它们的运动规律。 7、6坐标系的优点有哪些? 有什么缺乏之处? 答: (1)坐标的优点: 0■坐标实际上是一种修正的P坐标系,它的突出优点是卞 边界面为b=l的坐标面,边界变得十分简单(为齐次边界条件)。 (2)坐标的缺乏: b坐标中的水平运动方程变得复杂,气压梯度变为两项之差,在地形陡峭的地方是两个小量的差,难于计算准确。 &在静力平衡条件下仍存在铅宜速度假设运动是绝热的,试证明的诊断方•程为 愛=亍+[—费・vp-¥戸・卩+打、・(屈)呵 证: ^=-—g静力平衡 〔1〕 dzp V 如£=[如£绝热 dtcvdt 由z坐标连续方程可得, 叱+Q▽,戒+0竺=0dt dlnp口〔7OWrc+V.+—=0dtdz 毗一如“.V &dt22 利用〔1〕热力学方程得到, 空k一匚丄妇乞•刃 &Cppdt・2 利用〔1〕的静力平衡方程, 5Wc1—c一&: 宁=丄_[一匕•V3P-^pV2.V--〔f陽衣〕]炭CppcvotJZ 5Wc1—c一&: 于=丄一[一叫•V3P-^pV2eV-^-〔fpdz〕]炭CppcvdtJZ 学亠-[-^•V3P-pV2•V-gj^-dz] 炭Cppcv"Edt 再利用连续性方程 学亠丄[-可•号-7/刃M+gj%•〔近〕衣]5CpPCvi 证毕。 9、证明p坐标下水平运动方程变形。 证: p坐标下的水平运动方程是, +力 -fit 展开得到 dvdv和—+u——+v——+CDdtdxdy dudududu' ——+u——+V——+C0—(自dx內dp)P -A p坐标卜•的连续方程是, =o (dudvdco\ ——+——+—內dp)p 将连续方程③Xu+®在利用求导公式得⑤,同理连续方程③Xv+①在利用求导公式得⑥ <去丿P dv—+dvudx 4 dp) r/p -fit 证毕。 10、证明P坐标下水平运动方程变形。 证: P坐标下的水平运动方程是, +介 -A 展开得到 'd\>d\>dvdv\ —+uvco—— 、dtdxdydpJ (dududu6〞、 ——+u——+v——+co—— &dydp)p 、©> -fit p坐标下的连续方程是, 将连续方程③Xm③Xv分别加到①,②中得到 "dudududududco、 ——+M——+v——+CD——+u——+w—+M——kdtdxdydpdxdydp力 "金dvdvdvdudvdco、 llV——+CDVV—+V—— dxdydpdxdydp)p ⑤两边同时减去 dv v— dx ⑥两边同时减去 du u—— dy dv一+dt v" 0① rdU-JU-U——dy •* dy •* dvcodvdudvdu +u——+v——+vII——dpdxdx勿dy 整理得到 伶皿+沖 U-I— 劲丿I©〕 证毕。 11、 11.假设/>f0,3=0,证明 ¥=—尿-▽妙十p刊p-•內p 其中叫表示与气压p相对应高度上的铅直速度n八卫爲p坐标系中水平诫度。 这就是P坐标系中的地面气压倾向方程。 证: 由Q的定义有, dtdt6z 利用静力平衡公式有,― Sp h=—pg 6乙 —=—V•Vp+pgw—CDdt 将连续方程变形两边积分有,一63 Vp.V+—=0FdP dco--\/p9V8P cd-\qVp•VdP 根据偏导公式和转换方程有, P=v.[〔|〕J+〔|〕J]=v.[-〔g〕p|7-〔|〕Pg; 将上述代入原方程有, 詈二—闪•▽〞①+Qg齐—J宀•VdP 证毕 12・试证明P坐标中静力稳定度参数 3Ind 可以写成 证: 由 5hi<9 ln0=In了-—Inp+C CP 1dTR1 6=_a+a Tdpcpp PR …斗上空丄 PpRRdpjp ——=-adP 少① -—(―-1)p&Ps 6①_16①丽一万61nP 代入上述结果有: 51oO16①/? 「 =—(); (1) 'dPPd\nPPFlnPj展开合并同类项得 整理得到 J__66①1池R dhiP^dlnP)~~PTd\nPTpP2d]nP R衍 ? 01nP 证毕。 13.1949年伊莱亚森〔Elmssen,AJ■建议用压力的对数代替独立自变数z,建立对数压力坐标系。 对数压力坐标系中铅直坐标为 其中丹=匹是均质大气高度,取當值〞。 通常取1000hPao定义 试证明在〔工*以・,t〕坐标系中■水平运动方程和P坐标系中的形式一样•即 dFdF 证: P坐标下的水平运动方程是: dv-一 页皿S① 其中 dt d+CD—— 即 根据坐标转换关系有: dF_dFdpdpdz 所以dF=dFdz dpdzdp dz 冠 /\ d-Hln2 I几丿 即 从而得到^±= dzdpdz d-Hln2 IPo丿 op 对于水平梯度有: —▽①=_ 3o①、一+— 3o①、一+— =-V① P 1°兀6) P 1空內丿 _♦* 因此得到 dv-一 : +fkxV-V①dtf d3i7J"dtdt丿」dz 证毕。 14.证期在对数压力坐标系中静力方程和连续方程分别为 也+型+血1_空l=o\dX3t"dz*H 证: p坐标下的静力方程是: 6①—肮 =—CL= 即P 眇二池Op=RT〔即、dp时pU RT{ p] p1 、H丿 RT P坐标下的连续方程是: 由题意知 dudvdco ——+—+——=0 dxdydp 所以oco_h_P皿'“ lp~dp pd\/_pd\/dz_d\vdzdp 带入连续方程整理得到: 证毕。 15.证明h坐标系中铅直速度与z坐标系中铅直速度近似相等•即有“〜叽 证: 在对数压力坐标中 dzHco w== dtp 对于天气尺度来说有第一近似: CD=~pgW而日=翌 8 带入宀一竺一如型〜匹型竺坐jppgpgP血 证毕。 16.证明/坐标系中热力学能量方程形式为 其中 证: p坐标下的热力学能量方程是: 匹+启+止-S仟dtdxdy" Q cp 其中 S—空么竺 &PPg 〔乙一/〕= RT Pg 而* 所以第四项有: 一Sp3=- pgCpdz dTdTdzdpdTH、〒=尹〒丁=—("g) ozozcpdzozp 带入整理得到: (竺+尼+ dtdx 其中 r)空=空+竺 0dzdzCpH 证毕。
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