全等三角形培优竞赛专题Word文档格式.docx
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2、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;
如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果不正确,请说明理由.
3、已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,、、又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
4、在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交
于两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由;
(3)在
(2)的情况下,求的长.
5、如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
(4分)
(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;
若不是,请说明理由.(6分)
6、点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN交于点F。
求证:
(1)AN=MB.
(2)△CEF为等边三角形。
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,
(1)中的结论是否依然成立?
(只回答不证明),
(4)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明)。
7、问题:
已知中,,点是内的一点,且,.探究与度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当时,依问题中的条件补全右图.
观察图形,与得数量关系为________;
当退出时,可进一步推出的度数为_______;
可得到与度数的比值为_________.
(2)当时,请你画出图形,研究与度数的比值是否与
(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
8、直线CD经过的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且.
(1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若,则(填“”,“”或“”号);
②如图2,若,若使①中的结论仍然成立,则与应满足的关系是;
(2)如图3,若直线CD经过的外部,,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明.
9、
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°
.
BE=CF.
第23题图1
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°
EF
=4.求GH的长.
第23题图2
(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,
∠FOH=90°
EF=4.直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
第23题图4
第23题图3
10、如图,直角梯形ABCD中,,,且,过点D作,交的平分线于点E,连接BE.
(1)求证:
;
(2)将绕点C,顺时针旋转得到,连接EG..求证:
CD垂直平分EG.
(3)延长BE交CD于点P.求证:
P是CD的中点.
11、已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M.
AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD
的数量关系,并说明理由.
12、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
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