微积分中不等式的证明方法Word格式.docx

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f（x）dx='

f（x）dx八

1iJiiJ

g（x）dx二

1

n1-

dx

综上,有不等式ln（n1）:

2、某些不等式的积分推广：

原理：

设函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上可积.T为区间［a,b］的n

等分分

法,「［Xi」,Xi］.若对任何n和1◎乞n,均有

「fi1岂「gi1，即得「f<

bgiba.

ynyniwnyn

令nr-'

注意到函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上可积，即得积分不等式

bb

af（x）dx—g（x）dx.

倘若函数门和？

连续,还可由■:

>

1^f<

1：

宅吐g\1=

"

n丿“nJ

例3、证明Schwarz不等式

（亦称为Cauchy-ByH刃kobcku访不等式）:

设函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上连续（其实只要可积就可）.则有不

等式

g2（x）dx.

证法一：

（由Cauchy不等式=Schwarz不等式.Cauchy不等式

参阅

［1］上册P4Ex第10题：

设｛az?

…，a.｝和｛db,…，5｝为两组实数,贝U

fny

Eab兰送a：

迟b：

.）

Z丿yy

两端同乘以（b-o,有

n

注意到函数f2（x）、g2（x）和f（x）g（x）在区间［a,b］上的可积

-b"

I2b2b2

iff（x）g（x）dx〔<

ff（x）dx■[g（x）dx.

证法二：

|aaa

（用判别式法）对任何实数t，有tf（x）g（x）2—0,

[（tf（x）+g（x）fdx=[（t2f2（x）+g2（x）+2tf（x）g（x）dx兰0,即

aa

+2（ff（x）g（x）dx[+fg2（x）dx^0对任何实数t成

b2

f2（x）dx

立.

即上述关于t的二次不等式的解集为全体实数，于是就有

bb2b2

|[f（x）g（x）dx兰（f（x）dx”[g（x）dx.

bbd

f（x）dx上-（b「a）2.aaf（X）

取（x）-；

/f（x）,■-（x）.对函数（x）和■■■（x）使用

Vf（x）

Schwarz不等式，即得所证.

IfI—0厂.

21题）

设T为区间［0,1］的n等分分法.由上述不等式，有

函数Ix|和•.x的连续性，就有积分不等式

仿该例，可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分

形式.例

如［1］P334—335Ex2，6，8.

面积函数的导数

例6

db2dx2

求sinxdx和sintdt.

dxadxa

例7、

F

10dx2

求xetarctgt2dt和一[sin/dt.

xdx0

例8、

七d3tdx

求，t1.

dtt；

Inx

例9、

x2

设x_0时函数f（x）连续且.f（t）dt=x3.求f（x）.

（f（x）=3”）

2

X3」

例10、

设函数f（x）连续且f（t）dt=xc求c和f（7）.

——1

解：

令x“，=c=-1.两端求导，=f（7）=-

F（x）f（t）dtxf（x）-xf（x）f（t）dt,=F（x）=f（x）.a°

a

12

例11、

x

设f（x）C[a,b].F（x）=f（t）（x-t）dt,x[a,b].试证

明：

F（x）=f（x）.

xx

F（x）=xf（t）dt-：

tf（t）dt,=

a'

a

xX..

例12、设函数f（x）在区间［0,•：

）上连续且f（x）>

0.

（x）二

0tf（t）dt

0f（t）dt

试证明：

函数（x）在区间（0,内严格递增.

[一xxn

A（x）=2|Xf（x）[f（t）dt—f（x）[tf（t）dtI,而

（0f（t）dt厂1

xx_xXX

xf（x）0f（t）dt-f（x）0tf（t）dt二f（x）0xf（t）dt-0tf（t）dt二f（x）0f（t）（x-t）dt.

f（x）>

0,在（0,x）内f（t）（x-t）0，又f（t）（x-t）连续,=

0f（t）（x-t）dta0,二在区间（0,）内®

"

（x）>

0.因此®

（x）在区间（0,+珀）

内

严格递增•

三、含有变限积分的未定型极限：

X2

x[costdt例13、求极限lim宁

t0sintdt

2JI（

例14、计算积分.l-cos^dx

例15、计算积分f（x）=.11x-1|dt.

1x1

x1时，f（x）=t（x-t）dt=---）23

11x

xvO时，f（x）=[t（t—x）dt;

.x1

0Exm1日寸,f（X）=ot（x—t）dt,t（t—x）dt

因此,

例16、

323

x1

2一3

x：

0,

0_x_1,

x1.

利用积分Jn二sinnxdx的值（参阅§

4例15或[1]P306

E8）,计算积分

In二xsinnxdx.

解:

ji

In

JIf

31

一一

_（二-u）sinn（二_u）du二（二-u）sinnudu二

兀0

JI

udu二■:

sinnudu「In

~2

sinnudu=—o2

Jsinnxdx+（sinnudu,

匹

u却r

s

niudun^二

-书

耳兀-nx）dx=Jsnixnd,x

o

Tt

In二3（JnJn）"

Jn•

产2

（n-1）!

!

円2

—n!

2

打

-n!

，

n为偶数,

n为奇数.

例17、f（2x1）=xex,求f（t）dt.（2e2）

3

[4]P215E62

例18、设f（x）是区间[-T,T]（T.0）上连续的偶函数.试证明：

是［-T,T］上的奇函数.

原理:

例19、求极限lim

[3]

P163E13.

和§

例2连系.

n4

例20、求极限limi丨

nIk.-

n丄

ln［【

_k「

由函数ln（1-x）在区间[0,1]

上可积，有

k、414

=lim'

ln1=ln（1x）dx=2ln2-1=In

”n丿n0e

例21、

求极限lim

n—ye

1424n4

n（1323n3）

[3]P167E19

1424亠亠n4

n4"

'

i丄

3V.

n'

i二I

fi\

*——

_r

屮丿

f・、

i

—

.一

=[

<

n丿

J

x3dx

x4dx

lim'

n匚i4

lim二

—i4

■-0.

因此，

lim333

n匸n（1323n3）

22、

对任何n-

Z,有不等式

In2.

证:

111

+十…+

n■1n2nn

是函数f（x）

k1:

-

—在区间

1■x

上相应于n等分分法Tn的小和s（Tn）.由函数

f（x）=

1在区间[0,1]上可

n—'

时，s（Tn）/.f（x）dx

对任何n,有s（Tn）<

In2,

ln2.n+1n+2n+n

习题：

P309—3102，3,

8—11;

P249—26020—24，41—43，48—51，54，58，63，64，65,