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三角形三个内角的和等于180°
★推论1:
直角三角形的两个锐角互余
★推论2:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
★推论3:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
★三角形中位线平行且等于底边的一半
★全等三角形的对应边、对应角相等
★边角边公理(SAS):
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
★角边角公理(ASA):
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
★边边边公理(SSS):
有三边对应相等的两个三角形全等
★推论(AAS):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
★斜边、直角边公理(HL):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
★定理1:
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
★定理2:
到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
★角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
★等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
★等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
★等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
★等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形
★在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
★一个角为的直角三角形三边之比:
★会利用直角三角形三边之比求、的正弦、余弦、正切值
★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
★逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
关于某条直线对称的两个图形是全等图形
如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
★定理3:
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
★勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即
★勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形
★直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项
★直角三角形的任一直角边是斜边和该直角边在斜边上射影的比例中项
★多边形内角和定理:
n边形的内角的和等于(n-2)×
180°
任意多边的外角和等于360°
★平行四边形性质定理:
平行四边形的对角相等;
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角线互相平分。
★推论夹在两条平行线间的平行线段相等
★平行四边形判定定理:
1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4对角线互相平分的四边形是平行四边形
5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
★矩形性质定理:
1矩形的四个角都是直角2矩形的对角线相等
★矩形判定定理:
1、有三个角是直角的四边形是矩形;
2、有一个角是直角的平行四边形是矩形;
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
★菱形性质定理:
1菱形的四条边都相等;
2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
★菱形面积==对角线乘积的一半
★菱形判定定理:
1四边都相等的四边形是菱形;
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3有一组邻边相等的平行四边形是菱形
★正方形性质定理:
1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
★正方形的判定:
1有一组邻边相等的矩形是正方形
2两对角线互相垂直的矩形是正方形
3有一个角是直角的菱形是正方形
4两对角线相等的菱形是正方形
5两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
关于中心对称的两个图形是全等的
关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
★等腰梯形性质定理:
等腰梯形在同一底上的两个角相等;
等腰梯形的两条对角线相等
★等腰梯形判定定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
对角线相等的梯形是等腰梯形
★平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
★三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
★梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
★
(1)比例的基本性质:
如果a:
b=c:
d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:
d
★
(2)合比性质:
如果a/b=c/d,那么(a±
b)/b=(c±
d)/d
★(3)等比性质:
如果a/b=c/d=…=m/n那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
★平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
★平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
★相似三角形判定定理:
1两角对应相等,两三角形相似(ASA)
2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
3三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
★直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
★如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
★性质定理
1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
2相似三角形周长的比等于相似比
3相似三角形面积的比等于相似比的平方
★任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
★圆是到定点的距离等于定长的点的集合
★圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合
★圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合
★同圆或等圆的半径相等
★到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
★和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线
★到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
★到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
不在同一直线上的三点确定一个圆。
★垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,必垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
圆的两条平行弦所夹的弧相等
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
★推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
圆周角所对的弦是直径
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
★①直线L和⊙O相交d<r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d>r
★切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
★切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
★切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
★圆的外切四边形的两组对边的和相等
★弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
★相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
★切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
★推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
★如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
★①两圆外离d>R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切d=R-r(R>r)
⑤两圆内含d<R-r(R>r)
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
初中几何综合复习
一、典型例题
例1(2005重庆)如图,在△ABC中,点E在BC上,点D在AE上,已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求证:
BD=CD。
例2(2005南充)如图2-4-1,⊿ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点.
(1)求证:
DF是⊙O的切线.
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长.
例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
3.强化训练
练习一:
填空题
1.一个三角形的两条边长分别为9和2,第三边长为奇数,则第三边长为.
2.已知∠a=60°
∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线
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