全等三角形经典模型总结材料Word格式文档下载.docx

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〔二〕角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现

延长ED交射线OB于F辅助线：

过点E作EF∥射线OB

例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F.

求证：

例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：

〔三〕角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC.

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°

，∠C=40°

，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB＋BP＝BQ＋AQ.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比拟PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点〔不与A重合〕.

AB－AC＞PB－PC.

2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°

，∠B的平分线交AC于D，

AD＋BD＝BC.

3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°

，∠A的平分线交BC于D，

AC＋CD＝AB.

二、等腰直角三角形模型

〔一〕旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

〔1〕将△ABD逆时针旋转90°

，得△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.

〔2〕辅助线作法：

过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.

〔二〕旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

连结AD.

〔1〕使BF＝AE〔或AF＝CE〕，导出△BDF≌△ADE.

〔2〕使∠EDF＋∠BAC＝180°

，导出△BDF≌△ADE.

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°

，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°

，试探究BM、MN、之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°

，60°

角的直角三角板ADE和ABC，按如下列图放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△EMC的形状，并证明你的结论.

1、，如下列图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，O为BC中点，假如M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.

〔1〕试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

〔2〕当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.

〔三〕构造等腰直角三角形

〔1〕利用以上〔一〕和〔二〕都可以构造等腰直角三角形〔略〕；

〔2〕利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.

〔四〕将等腰直角三角形补全为正方形，如如下图：

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

，P为三角形ABC部一点，

满足PB＝PC，AP＝AC，求证：

∠BCP＝15°

.

三、三垂直模型〔弦图模型〕

：

如下列图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF.

∠ADB＝∠CDF.

变式1、：

如下列图，在△ABC中，AB＝AC，AM＝，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.

〔1〕∠AMB＝∠F；

〔2〕BM＝AF＋FN.

变式2、在变式1的根底上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，

〔1〕PM＝PN；

〔2〕PB＝PF＋AF.

四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：

〔1〕△ABF≌△AEC.

〔2〕∠BOE＝∠BAE＝60°

〔3〕OA平分∠EOF.〔四点共圆证〕

拓展：

△ABC和△CDE均为等边三角形

〔1〕AD＝BE；

〔2〕∠ACB＝∠AOB；

〔3〕△PCQ为等边三角形；

〔4〕PQ∥AE；

〔5〕AP＝BQ；

〔6〕CO平分∠AOE；

〔四点共圆证〕

〔7〕OA＝OB＋OC；

〔8〕OE＝OC＋OD.

〔〔7〕，〔8〕需构造等边三角形证明〕

例、如图①，点M为锐角三角形ABC任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连接EN．

〔1〕求证：

△AMB≌△ENB；

〔2〕假如AM+BM+CM的值最小，如此称点M为△ABC的费尔马点．假如点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

〔3〕小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，如此点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

〔1〕BE＝CD；

〔2〕BE⊥CD.

3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形

〔1〕BD＝CF；

〔2〕BD⊥CF.

变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

〔1〕T为FD中点；

〔2〕.

变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，

AS⊥BC.

4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：

五、半角模型

条件：

两边相等.

思路：

1、旋转

①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF

②将△ADN绕点A顺时针旋转90°

得△ABF，注意：

旋转需证F、B、M三点共线

〔1〕MN＝BM＋DN；

〔2〕；

〔3〕AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.

2、翻折〔对称〕

①作AP⊥MN交MN于点P

②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.

例1、在正方形ABCD中，假如M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，

〔1〕∠MAN＝45°

；

〔3〕AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

变式：

在正方形ABCD中，∠MAN＝45°

，假如M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

AH⊥MN，垂足为H，

〔1〕试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；

〔2〕求证：

AB＝AH

例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°

，AB＝AD，假如E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：

在四边形ABCD中，∠B＝90°

，∠D＝90°

，AB＝AD，假如E、F分别为边BC、CD上的点，且，求证：

EF＝BE＋DF.