四川省雅安市学年高二上学期期末考试数学文试题Word格式文档下载.docx
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4.已知椭圆的右焦点,则()
A.2B.3C.4D.5
由题意可得,又
解得
5.抛物线的准线方程是()
【解析】抛物线可化为,焦点在轴上,
抛物线的准线方程是
6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的值等于()
A.-3B.-10C.0D.-2
【解析】循环时参数值分别为;
;
,此时满足退出循环条件,输出-3,故选A.
7.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试,现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:
据此估计允许参加面试的分数线大约是()
A.75B.80C.85D.90
【解析】,择优选出100人参加面试,随机调查了24名笔试者的成绩,则,观察表格,分数在有5人,有1人
估计参加面试的分数线为
8.如果椭圆的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是()
【解析】设过点的直线与椭圆相交于两点,
由中点坐标公式可得,
则,两式相减得,
所以,所以直线的斜率,
所以直线的方程为,整理得,故选A.
9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】先由甲心中想一个数字,记为,
再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,
其中,
∴基本事件总数,
∵|a−b|⩽1,就称甲、乙“心有灵犀”,
∴任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”包含的基本事件有:
,
共有16个,
∴任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率.
故选:
D.
点睛:
古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法:
适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:
适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:
适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
10.已知圆,从点发出的光线,经轴反射后恰好经过圆心,则入射光线的斜率为()
A.B.C.D.
根据反射定律,圆心C(2,-1)关于x轴的对称点D(2,1)在入射光线上,
再由点P(-1,-3)也在入射光线上,可得入射光线的斜率为
与直线关于点、直线对称的直线方程
11.已知椭圆:
与双曲线:
有相同的右焦点,点是椭圆和双曲线的一个公共点,若,则椭圆的离心率为()
【解析】由题意不妨设在第一象限
双曲线:
可化为,
椭圆:
()与双曲线:
有相同的右焦点
椭圆的离心率为
12.已知点在椭圆上,则直线与圆的位置关系为()
A.相交B.相切C.相离D.相交或相切
【解析】点在椭圆上,
圆的圆心到直线的距离:
直线与圆的位置关系为相交或相切
.....................
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.圆心为且过原点的圆的方程是__________.
【答案】
【解析】由题意知圆的半径
圆的方程为
14.点关于轴的对称点是__________.
【答案】
(-1,-1,1)
【解析】点关于轴的对称点的坐标就是竖坐标不变,横坐标,纵坐标的数值为相反数,就是
15.不论为何实数,直线恒通过一个定点,这个定点的坐标是__________.
(2,3)
直线方程即k(2x+y﹣1)+(﹣x+3y+11)=0,一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11="
0"
的交点,联立方程组可求定点的坐标.
解:
直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)="
即k(2x﹣y﹣1)+(﹣x﹣3y+11)=0,
根据k的任意性可得,
解得,
∴不论k取什么实数时,直线(2k﹣1)x+(k+3)y﹣(k﹣11)=0都经过一个定点(2,3).
故答案为:
(2,3).
恒过定点的直线.
16.点是抛物线:
的一条渐近线的交点,若点到抛物线的准线的距离为,则双曲线的离心率为__________.
【解析】取双曲线的一条渐近线:
,联立
,解得,故
点到抛物线的准线的距离为
,化为
双曲线的离心率
故答案为
本题考查双曲线的性质及方程,双曲线的离心率和渐近线的斜率之间有关系。
先根据条件求出点的坐标,再结合点到抛物线的准线距离为,得到,再代入离心率计算公式即可得到答案。
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直线,.
(1)若,求的值;
(2)若且它们的距离为,求的值.
(1)
(2),
(1)因为两条直线是相互垂直的,故,解得;
(2)因为两条直线是相互平行的,故,解得.
解析:
设直线的斜率分别为,则、.
(1)若,则,∴
(2)若,则,∴.
∴可以化简为,
∴与的距离为,∴或
18.已知抛物线与直线交于两点.
(1)求弦的长度;
(2)若点在抛物线上,且的面积为12,求点的坐标.
(1)
(2)或
(Ⅰ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得x2-5x+4=0,Δ>
0.
法一:
又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=,
∴|AB|==
法二:
解方程得:
x=1或4,∴A、B两点的坐标为(1,-2)、(4,4)
∴|AB|=
(Ⅱ)设点,设点P到AB的距离为d,则
∴S△PAB=·
·
=12,
∴.∴,解得或
∴P点为(9,6)或(4,-4).
直线与椭圆的位置关系
点评:
直线与圆锥曲线相交,联立方程利用韦达定理是常用的思路
19.已知集合.
(1)若,求的概率;
(2)若,求的概率.
(1)
(2)
(1)因为x,y∈Z,且x∈[0,2],y∈[-1,1],基本事件是有限的,所以为古典概型,这样求得总的基本事件的个数,再求得满足x,y∈Z,x+y≥0的基本事件的个数,然后求比值即为所求的概率.
(2)因为x,y∈R,且围成面积,则为几何概型中的面积类型,先求x,y∈Z,求x+y≥0表示的区域的面积,然后求比值即为所求的概率.
试题解析:
(1)设为事件,,
即,即.
则基本事件有:
共个,其中满足的基本事件有个,所以.故的概率为.
(2)设为事件,因为,则基本事件为如图四边形区域,事件包括的区域为其中的阴影部分.
所以,
故的概率为.
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
(3)几何概型有两个特点:
一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.
20.某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题计结果如下图表所示:
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在
(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
(1)18,9,0.9,0.2
(2)2,3,1(3)
(1)先由第一组求出的值,再结合图表及频率分布直方图就可以求出的值;
(2)根据
(1)中求出的各组人数,按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取的人数;
(3)先列出从人中随机抽取人的总抽取方法,再列出所抽取的人中第二组至少有人的抽取方法数,即可求出所得的概率.
(1)由频率表中第一组数据可知,第一组总人数为,
再结合频率分布直方图可知,
(2)第二,三,四组中回答正确的共有人,所以利用分层抽样在人中抽取人,每组分别抽取的人数为:
第二组:
人,
第三组:
第四组:
人.
(3)设第二组的人为,第三组的人为,第四组的人为,则从人中抽人所有可能的结果有:
共个基本
事件,其中第二组至少有一人被抽中的有
这个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为.
1、频率分布表及直方图;
2、分层抽样;
3、古典概型.
21.已知圆心在直线上,且与直线相切于点.
(1)求圆的方程;
(2)直线与该圆相交于两点,若点在圆上,且有向量(为坐标原点),求实数.
(1)
(2)
求出圆心与半径,即可求圆的方程;
⑵直线与圆联立得,利用韦达定理,代入圆方程,即可得到结论;
(I)设圆的方程为
因为直线相切,圆心到直线的距离,且圆心与切点连线与直线l垂直可得a=0,r=,所以圆的方程为:
(II)直线与圆联立:
,得:
,
Δ=,解得.
设A()B,,
M代入圆方程:
,求得k=
22.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,且该椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且,求的值.
【解析】】试题分析:
由抛物线方程求得焦点坐标,求得的值,由双曲线的离心率公式求得其离心率,则,即可求得椭圆的半长轴的值,则,即可求得半短轴,即可求得椭圆的方程;
⑵将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理求得,则,
,即可求得点坐标,由中点坐标公式求得点坐标,分类当及当时,由,根据向量的坐标表示,即可求得的值
解析:
(I)抛物线的焦点坐标为,所以
双曲线的离心率为,所以椭圆的离心率,
故椭圆的
所以椭圆方程为:
(II)由(I)知,且直线的斜率必存在,设斜率为,
则直线方程为:
,设点的坐标为,
联立方程,方程消去整理得:
两点坐标满足上述方程,由韦达定理得,
所以,
所以,的坐标为,
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