江苏省高考数学二轮复习讲义专题六 应用题Word文件下载.docx
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PO1=×
62×
2=24(m3);
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积
V柱=AB2·
O1O=62×
8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=am,PO1=hm,
则0<h<6,O1O=4h.连结O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,
O1B+PO=PB,
所以2+h2=36,
即a2=2(36-h2).
于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·
4h+a2·
h=a2h=(36h-h3),0<h<6,
从而V′=(36-3h2)=26(12-h2).
令V′=0,得h=2或h=-2(舍去).
当0<h<2时,V′>0,V是单调增函数;
当2<h<6时,V′<0,V是单调减函数.
故当h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.
[方法技巧]
解函数应用题的四步骤
[演练冲关]
1.(2018·
苏锡常镇二模)某科研小组研究发现:
一棵水蜜桃树的产量w(单位:
百千克)与肥料费用x(单位:
百元)满足如下关系:
w=4-,且投入的肥料费用不超过5百元.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位:
百元).
(1)求利润函数L(x)的函数关系式,并写出定义域;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?
最大利润是多少?
解:
(1)由题意可得,L(x)=16-x-2x=64--3x(0≤x≤5).
(2)法一:
L(x)=64--3x=67-≤67-2=43.
当且仅当=3(x+1),即x=3时取等号.
故L(x)max=43.
答:
当投入的肥料费用为300元时,种植水蜜桃树获得的利润最大,最大利润是4300元.
法二:
由
(1)可得L′(x)=-3(0≤x≤5),
由L′(x)=0,得x=3.
故当x∈(0,3)时,L′(x)>
0,L(x)在(0,3)上单调递增;
当x∈(3,5)时,L′(x)<
0,L(x)在(3,5)上单调递减.
所以当x=3时,L(x)取得极大值,也是最大值,
故L(x)max=L(3)=43.
当投入的肥料费用为300元时,种植水蜜桃树获得的利润最大,最大利润是4300元.
2.(2018·
江苏六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:
以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆作为圆柱的两个底面;
方案②:
以l1为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设l1的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
(1)设所得圆柱的底面半径为rdm,
则(2πr+2r)×
4r=100,解得r=.
(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm,
则即
法一:
所得正四棱柱的体积V=a2x≤
记函数p(x)=
则p(x)在(0,2]上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以当x=2时,p(x)max=20.
所以当x=2,a=时,Vmax=20dm3.
当x为2时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.
由2a≤x≤,得a≤.
所得正四棱柱的体积V=a2x≤a2=20a≤20.
所以当a=,x=2时,Vmax=20dm3.
题型
(二)
与三角形、多边形有关的实际应用题
主要考查与三角形有关的实际应用题,所建立函数模型多为三角函数模型.
[例2] (2018·
江苏高考)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
[解]
(1)如图,设PO的延长线交MN于点H,则PH⊥MN,
所以OH=10.
过点O作OE⊥BC于点E,
则OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
则矩形ABCD的面积为2×
40cosθ·
(40sinθ+10)
=800(4sinθcosθ+cosθ),
△CDP的面积为×
2×
40cosθ(40-40sinθ)
=1600(cosθ-sinθcosθ).
过点N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于点G和K,则GK=KN=10.
连结OG,令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.
当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,
所以sinθ的取值范围是.
矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是.
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
设甲的单位面积的年产值为4k(k>
0),乙的单位面积的年产值为3k(k>0),
则年总产值为4k×
800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×
1600(cosθ-sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.
设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,
则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)
=-(2sinθ-1)(sinθ+1).
令f′(θ)=0,得θ=,
当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;
当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数.
所以当θ=时,f(θ)取到最大值.
当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
三角应用题的解题策略
(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用,要想解决好,就要把实际问题抽象概括,建立相应的数学模型,然后求解.
(2)解三角应用题常见的两种情况:
①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法.
如图,经过村庄A有两条夹角为60°
的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:
千米).记∠AMN=θ.
(1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;
(2)如何设计(即AN,AM为多长),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?
(1)由已知得∠MAN=60°
,∠AMN=θ,MN=2,
在△AMN中,
由正弦定理得==,
所以AN=sinθ,
AM=sin(120°
-θ)=sin(θ+60°
).
(2)在△AMP中,由余弦定理可得
AP2=AM2+MP2-2AM·
MP·
cos∠AMP
=sin2(θ+60°
)+4-sin(θ+60°
)cos(θ+60°
)
=[1-cos(2θ+120°
)]-sin(2θ+120°
)+4
=-[sin(2θ+120°
)+cos(2θ+120°
)]+
=-sin(2θ+150°
),0<θ<120°
,
当且仅当2θ+150°
=270°
,即θ=60°
时,工厂产生的噪声对居民的影响最小,此时AN=AM=2.
题型(三)
与圆有关的实际应用题
主要考查与直线和圆有关的实际应用题,在航海与建筑规划中的实际 问题中常见.
[典例感悟]
[例3] 一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°
方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.
(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使其用最短时间在领海内拦截成功;
(参考数据:
sin17°
≈,≈5.7446)
(2)问:
无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?
并说明理由.
[解]
(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图①),
依题意,AC=3BC.
在△ABC中,由正弦定理得,
sin∠BAC=sin∠ABC
==.
因为sin17°
≈,所以∠BAC=17°
.
从而缉私艇应向北偏东47°
方向追击.
在△ABC中,由余弦定理得,
cos120°
=,
解得BC=≈1.68615.
又B到边界线l的距离为3.8-4sin30°
=1.8.
因为1.68615<
1.8,所以能在领海上成功拦截走私船.
缉私艇应向北偏东47°
方向追击.
如图②,设走私船沿BC方向逃跑,∠ABC=α,
缉私艇在C处截获走私船,并设BC=a,则AC=3a.
由余弦定理得(3a)2=a2+16-8acosα.即cosα=,
所以sinα=,1≤a≤2.
所以BCcos(α-120°
)=a
=-(2-a2)+·
=(a2-2)+·
令t=a2-,-
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