二次函数知识点总结典型例题讲解Word文档格式.docx

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〔1〕一般式：

〔2〕顶点式：

〔3〕当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，那么不能这样表示。

三、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数

二次函数

图像

a>

a<

y

0x

0x

性质

〔1〕抛物线开口向上，并向上无限延伸；

〔2〕对称轴是x=，顶点坐标是

〔，〕；

〔3〕在对称轴的左侧，即当x<

时，y随x的增大而减小；

在对称轴的右侧，即当x>

时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

〔4〕抛物线有最低点，当x=时，

y有最小值，

〔1〕抛物线开口向下，并向下无限延伸；

时，y随x的增大

而增大；

时，y随x

的增大而减小，简记左增右减；

〔4〕抛物线有最高点，当x=时，

y有最大值，

2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：

>

0时，抛物线开口向上

<

0时，抛物线开口向下

与对称轴有关：

对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：

〔0，〕

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>

0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<

0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式〔当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法〕

如图：

点A坐标为〔x1，y1〕点B坐标为〔x2，y2〕

那么AB间的距离，即线段AB的长度为y

A

x

B0

2、函数平移规律〔中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间〕

左加右减、上加下减

四、二次函数的最值

如果自变量的取值X围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕，即当时，。

如果自变量的取值X围是，那么，首先要看是否在自变量取值X围内，假设在此X围内，那么当x=时，；

假设不在此X围内，那么需要考虑函数在X围内的增减性，

如果在此X围内，y随x的增大而增大，那么当时，，当时，；

如果在此X围内，y随x的增大而减小，那么当时，，当时，。

典型例题

1.函数，那么使y=k成立的x值恰好有三个，那么k的值为〔〕

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

2.如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，那么以下关系中正确的选项是

A．a＋b=－1　B．a－b=－1C．b<

2a　　　　　D．ac<

0

【答案】B

3.二次函数的图象如下图，那么反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是〔〕.

4.如图，二次函数的图象经过点〔－1，0〕，〔1，－2〕，当随的增大而增大时，的取值X围是．

【答案】

5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°

，所得抛物线的解析式〔〕．

A．B．C．D．

6.二次函数的图像如图，其对称轴，给出以下结果①②③④⑤，那么正确的结论是〔〕

A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤

【答案】D

7．抛物线上局部点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

x

…

－2

－1

1

2

y

4

6

从上表可知，以下说法中正确的选项是．〔填写序号〕

①抛物线与轴的一个交点为〔3,0〕；

②函数的最大值为6；

③抛物线的对称轴是；

　　　④在对称轴左侧，随增大而增大．

【答案】①③④

8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是〔－2，4〕，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

（1）求△OAB的面积；

（2）假设抛物线经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部〔不包括△OAB的边界〕，求m的取值X围〔直接写出答案即可〕．

解：

（1）∵点A的坐标是〔－2，4〕，AB⊥y轴，

∴AB=2，OB＝4，∴

（2）①把点A的坐标〔－2，4〕代入，

得，∴c＝4

②∵，

∴抛物线顶点D的坐标是（－1，5），AB的中点E的坐标是〔－1，4〕，OA的中点F的坐标是〔－1，2〕，

∴m的取值X围为l<

m<

3．

9．二次函数y=x2+x的图像如图．

〔1〕求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

〔2〕将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为

A、B、C三点，假设∠ACB=90°

，求此时抛物线的解析式；

〔3〕设〔2〕中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

〔1〕二次函数y=-x2+x的对称轴为x=3，∴D〔3，0〕．

〔2〕设抛物线向上平移h个单位〔h＞0〕，那么平移后的抛物线解析式为y=-x2+x+h．

∵∠ACB=90°

，∴OC2=OA·

OB．

设点A、B的横坐标分别为x1、x2，那么h2=-x1·

x2．

∵x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的两个根，

∴x1·

x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4．

〔3〕CM与⊙D相切，理由如下：

连结CD、CM，过点C作⊥DM于点D，如以下图所示：

∵AB是⊙D的直径，∠ACB=90°

，

∴点C在⊙D上．

根据平移后的抛物线的解析式y=-x2+x+4可得：

OD=3，OC=4，DM=，CD=5．

∴=3，MN=，∴CM=．∵CM=，CD=5，DM=，

∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°

，∴CM与⊙D相切．

10.如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线过A，B，C三点.

〔1〕求证：

∠CAD＝∠CAB；

〔2〕①求抛物线的解析式；

②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

〔3〕在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标〔不写求解过程〕；

假设不存在，请说明理由.

〔1〕证明：

连接O′C.

∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD．

∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD．

∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB．

〔2〕①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90°

∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴

即．∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝，∴OA＝2OC

又∵AB＝10，∴，∵OC＞0

∴OC＝4，OA＝8，OB＝2．∴A〔－8，0〕，B〔2，0〕，C〔0，4〕．

∵抛物线过A，B，C三点.∴c＝4

由题意得，解之得，∴．

设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.

∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴

∴8（BF＋5）＝5（BF＋10），∴，∴．

设直线DC的解析式为，那么，即

∴．由得

顶点E的坐标为．将代入直线DC的解析式中，

右边左边.∴抛物线的顶点E在直线CD上．

11.如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°

，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A〔-1，0〕，B（-1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．

〔1〕求抛物线的解析式

〔2〕抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．假设存在，求出点P的坐标；

假设不存在．请说明理由。

〔3〕设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？

并求出最大值。

〔1〕解：

由题意可得M〔0，2〕，N〔-3，2〕

∴，解得：

∴y=

〔2〕∵PA=PC，∴P在AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过B〔-1，2〕，〔1，0〕，

这条直线为y=－x+1．

解得：

，

∴P1〔〕，P2〔〕．

〔3〕D为E关于对称轴x=1．5对称，CD所在的直线y=－x+3．

∴yQ=4．5，∴Q〔-1．5，4．5〕．

最大值为CD==．个单位/秒．

〔3〕〔〕,．

当时，有最大值为，此时．

12．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A〔一1，0〕．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

〔1〕∵点A〔-1，0〕在抛物线y=x2+bx-2上，∴×

（-1）2+b×

（-1）–2=0，解得b=

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=（x2-3x-4）=（x-）2-,

∴顶点D的坐标为（,-）.

〔2〕当x=0时y=-2,∴C〔0，-2〕，OC=2．

当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B（4,0）

∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.

〔3〕作出点C关于x轴的对称点C′，那么C′〔0，2〕，OC′=2，连接C′D交x轴于点M，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．

设直线C′D的解析式为y=kx+n,那么，解得n=2,.

∴.∴当y=0时，，.∴

13.〔2011XXXX，10分〕在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c（a<

0）过矩形顶点B、C.

〔1〕当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

〔2〕当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

〔3〕将