高中数学第二章平面向量233向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4Word格式.docx
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(2)×
(3)×
2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·
b的值是( )
A.23 B.7 C.-23 D.-7
D
3.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3} B.{-1,6}C.{2} D.{6}
C
4.已知a=(1,),b=(-2,0),则|a+b|=________.
2
平面向量数量积的坐标运算
[典例]
(1)(全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·
a=( )
A.-1 B.0
C.1D.2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·
=( )
A.5B.4
C.3D.2
[解析]
(1)a=(1,-1),b=(-1,2),
∴(2a+b)·
a=(1,0)·
(1,-1)=1.
(2)由=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·
=(2,1)·
(3,-1)=5.
[答案]
(1)C
(2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:
一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
[活学活用]
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·
b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·
c)·
a.
解:
(1)因为a与b同向,又b=(1,2),
所以a=λb=(λ,2λ).
又a·
b=10,所以1·
λ+2·
2λ=10,解得λ=2>
0.
因为λ=2符合a与b同向的条件,所以a=(2,4).
(2)因为b·
c=1×
2+2×
(-1)=0,
所以(b·
a=0·
a=0.
向量的模的问题
[典例]
(1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.B.
C.2D.10
(2)已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,||=2,则点B的坐标是________.
[解析]
(1)由⇒⇒
∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1).
∴|a+b|=.
(2)由题意可设=λa(λ>0),
∴=(2λ,3λ).又||=2,
∴(2λ)2+(3λ)2=
(2)2,解得λ=2或-2(舍去).
∴=(4,6).又A(1,-2),∴B(5,4).
[答案]
(1)B
(2)(5,4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
1.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,0),则|2a-b|的最大值为________.
解析:
2a-b=(2cosθ-,2sinθ),
|2a-b|=
=
=,
当且仅当cosθ=-1时,|2a-b|取最大值2+.
2+
2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·
b)b,则|c|=________.
∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·
b=2×
(-1)+4×
2=6,∴c=a-(a·
b)b=(2,4)-6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8),
∴|c|==8.
8
向量的夹角和垂直问题
[典例]
(1)已知a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数λ=________.
(2)已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角为,则实数k的值为________.
[解析]
(1)∵a=(3,2),b=(-1,2),
∴a+λb=(3-λ,2+2λ).
又∵(a+λb)⊥b,
∴(a+λb)·
b=0,
即(3-λ)×
(-1)+2×
(2+2λ)=0,
解得λ=-.
(2)c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0),
由cos=得=,
∴(2-k)2=(k-1)2,∴k=.
[答案]
(1)-
(2)
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·
b以及|a||b|,再由cosθ=求出cosθ,也可由坐标表示cosθ=直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π,利用cosθ=来判断角θ时,要注意cosθ<
0有两种情况:
一是θ是钝角,二是θ=π;
cosθ>
0也有两种情况:
一是θ为锐角,二是θ=0.
已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
(1)∵a∥b,∴3x=4×
9,∴x=12.
∵a⊥c,∴3×
4+4y=0,∴y=-3,
∴b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
则cosθ==
==-.
∵θ∈[0,π],∴θ=,
即m,n的夹角为.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,求·
+·
的值.
[解] [法一 定义法]
如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cosA=,cosC=,
∴·
=·
=4×
5cos(π-C)+5×
3cos(π-A)
=-20cosC-15cosA
=-20×
-15×
=-25.
[法二 坐标法]
如图,建立平面直角坐标系,
则A(3,0),B(0,0),C(0,4).
∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4).
=-3×
0+0×
4=0,
·
=0×
3+4×
(-4)=-16,
=3×
(-3)+(-4)×
0=-9.
=0-16-9=-25.
[法三 转化法]
∵||=3,||=4,||=5,
∴AB⊥BC,∴·
=0,
(+)
=-||2=-25.
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法:
利用定义式a·
b=|a||b|cosθ求解;
(2)坐标法:
利用坐标式a·
b=a1b1+a2b2解题;
(3)转化法:
求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,然后进行计算.
如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE的值为________.
法一:
以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=,=.
故cos∠DOE===.
法二:
∵=+=+,
=+=+,
∴||=,||=,
=2+2=1,
∴cos∠DOE==.
层级一 学业水平达标
1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为( )
A. B.3
C.-D.-3
选D 向量a在b方向上的投影为==-3.选D.
2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )
A.B.
C.2D.10
选B 由a⊥b得a·
∴x×
1+1×
(-2)=0,即x=2,
∴a+b=(3,-1),
∴|a+b|==.
3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·
(2a-b)=0,则k=( )
A.-12B.-6
C.6D.12
选D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·
(2a-b)=0,得(2,1)·
(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
4.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.B.-
C.D.-
选C 设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos〈a,b〉==.
5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
选A 由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),∴·
=2×
8+(-4)×
4=0,即⊥.
∴∠BAC=90°
,
故△ABC是直角三角形.
6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·
b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.
7.已知向量a=(1,),2a+b=(-1,),a与2a+b的夹角为θ,则θ=________.
∵a=(1,),2a+b=(-1,),
∴|a|=2,|2a+b|=2,a·
(2a+b)=2,
∴cosθ==,
∴θ=.
8.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·
b=,则向量b的坐标为________.
设b=(x,y)(y≠0),则依题意有解得故b=.
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
(1)若a⊥b,
则a·
b=(1,x)·
(2x+3,-x)
=1×
(2x+3)+x(-x)=0,
即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×
(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
a-b=(-2,0),|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
a-b=(2,-4),|a-b|==2.
综上,|a-
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