函数的单调性与奇偶性 初中数学 函数的奇偶性与单调性文档格式.docx
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上任意两个值时有
,
若
,称
时有为
上减函数.
称
为
二.例题精讲
【例1】已知定义域为的函数
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若对任意的取值范围.
解析(Ⅰ)因为
是奇函数,所以
=0,
是奇函数.
的值;
,不等式恒成立,求的
又由f
(1)=-f(-1)知
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又由题设条件得
即整理得
上式对一切
,
均成立,
从而判别式
【例2】设函数表示和,并求
解依题意有
而
在处取得极值-2,试用
的单调区间.
故从而
解得
。
令由于
,得在
或处取得极值,
故
,即。
(1)若,即,则当时,;
(2)当
时,;
当时,;
从而的单调增区间为;
单调减区间为
若,即,同上可得,
的单调增区间为;
单调减区间为
【例3】
(理)
设函数
成立,求实数的取值范围.
(文)讨论函数
(理)解法一令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上,a的取值范围是(-∞,1].
解法二令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数g′(x)=ln(x+1)+1-a令g′(x)=0,解得x=ea
-1
若对所有的,
都有
的单调性
-1,
当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].(文)解设
则
∵∴
当当当
时,
为常量,无单调性
,则
为减函数
为增函数
【例4】
(理)已知函数(Ⅰ)若
(Ⅱ)若
(文)
已知
求
,其中的单调性;
为常数.
,讨论函数
且=4,试证:
.
为定义在
上的奇函数,当
时,,
的表达式.
(理)
(文)解∵当
为奇函数∴
为奇函数,∴
∴
三.巩固练习
值范围是()A.
B.
C.
是上的减函数,那么的取
D.
已知是周期为2的奇函数,
当
则()
时
,,
设
A.
下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()
B.C.D.
若不等式()
A.0B.–2C.-D.-3设
对于一切
(0,)成立,则的取值范围是
是上的任意函数,则下列叙述正确的是()
A.C.
已知定义在
上的奇函数
为()
A.-1B.0C.1D.2
已知函数于直线
对称,记
的图象与函数
(.若
且
)的图象关在区间
上
满足
的值
是偶函数D.
是偶函数
是奇函数B.
是奇函数
是增函数,则实数的取值范围是()A.
如果函数
增函数,那么实数的取值范围是()A.
在区间上是
B.C.D.
对于上可导的任意函数
A.D.
10.已知A.
1已知函数
1已知函数时,1
,则当
是定义在
时,,若
,若满足,则必有()
,则()
C.D.
为奇函数,则.
上的偶函数.当.
是定义在上的以3为周期的偶函数,且=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是
则方程
()
A.5B.4C.3D.2
1下列函数既是奇函数,又在区间
上单调递减的是()
1若函数
A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值
1若函数则的取值范围是()A.1设
对称,则
1设函数
在
上满足
.
是定义在上的奇函数,且
的图象关于直线
______.
在区间
内单调递增,
,则该函数在
上是()
且在闭区间[0,7]上,只有
(Ⅰ)试判断函数
(Ⅱ)试求方程证明你的结论.
1(理)已知
(1)当为何值时
取得最小值?
证明你的结论;
(2)
,函数
=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并
的奇偶性;
[-1,1]上是单调函数,求的取值范围.
(文)已知象关于直线且
(1)求12,求.
20.已知函数
处的切线方程为
(1)求函数
为偶函数且定义域为对称,当
时,
,的图象与的图
,为实常数,
的解析式;
(2)求的单调区间;
(3)若的最大值为
的图象过点(0,2),且在点.
(2)求函数的单调区间.
2已知向量
1,1)上是增函数,求的取值范围.
2(理)已知函数
.若
若函数
在区间(-
存在单调递减区间,求的取值范围.
已知函数间
巩固练习参考答案
CDACDBD
在区
上是增函数,求实数的值.
上是减函数,且在区间
BC10.A1a=A1B10
1-x-x41B1D1
18.解:
由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函
数
从而知函数
不是奇函数,
的对称轴为
由
从而知函数故函数
,的周期为是非奇非偶函数;
又
(II)由
(II)又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2000]上有400个解,所以函数
1(理)解(I)对函数令解得
当变化时,
在[-2005,2005]上有802个解.
求导数得
得[+2(1-)-2]=0从而+2(1-)-2=0
、的变化如下表
在=处取得极大值,在=处取得极小值。
当≥0时,数,而当
=.
取得最小值,
1,
上为减函数,在
上为增函
当x=0时,所以当
(II)当≥0时,即
于是
在,解得
上为单调函数的充要条件是,
在[-1,1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
(文)解:
(1)先求设则点所以
再根据偶函数的性质,求当
得关于是
上的解析式
上的一点,
的对称点为且
上的解析式为
所以
(2)当因
时,所以
因所以当所以
,所以在
,所以上为减函数.
而.
因,
因所以
所以,所以,即
在上为增函数
(3)由
(2)知又因所以
在上为增函数,在上为减函数,
为偶函数,所以
上的最大值
得.
20.解(Ⅰ)由所以
知
由在
处的切线方程是
的图象经过P(0,2),知d=2,
故所求的解析式是
(Ⅱ)解得
当当故在
2解法1依定义
内是减函数,在
内是增函数,
内是增函数.
故要使
解法2依定义
开口向上的抛物线,
在区间(-1,1
)上恒成立
的图象是开口向下的抛物线,
2(理)解
则所以
因为函数h(x)存在单调递减区间,
0时,则ax2+2x-1>
0有x>
0的解.
①当a>
0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>
0总有x>
0的解;
②当a0总有x>
则△=4+4a>
0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1
(文)解
2007-07-25人教网
,当时
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