安徽省马鞍山市届高三第一次期末考试教学质量检测数学文试题Word版附详细解析Word文件下载.docx
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结合题意可知:
甲组的平均数为33,即,
则甲组数据的平均数为:
4.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()
A.0B.2C.0或1D.0或2
【答案】D
【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切,或,故选D.
5.设,其中变量满足,若的最大值为6,则的最小值为()
A.B.C.1D.2
【答案】A
【解析】试题分析:
作出不等式对应的平面区域,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最大为.即,经过点时,直线的截距最小,此时最小.由,得,即,因为直线过,.由,解得,即.此时最小值为,故选A.
考点:
1、可行域的画法;
2、最优解的求法.
6.如图,三棱柱中,侧棱底面,底面三角形是正三角形,是中点,则下列叙述正确的是()
A.与是异面直线
B.平面
C.平面
D.与为异面直线,且
【解析】与均在平面内,两直线不是异面直线,说法A错误;
底面三角形是正三角形,则△ABC是正三角形,∠CAB=60°
,据此可知平面不成立,说法B误;
,而平面不成立,据此可知平面不成立,说法C错误;
△ABC是正三角形,则AE⊥BC,又AE⊥CC1,据此可得平面,则与为异面直线,且,说法D正确;
本题选择D选项.
7.《九章算术》是中国古代的数学专著,是“算经十书”中最重要的一种。
在其第七章中有如下问题:
“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍,问几何日而长等?
”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺,植物莞发芽的第一天长高一尺。
蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半,莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。
问这两种植物在何时高度相同?
在此问题中,蒲和莞高度相同的时刻在()
A.第二天B.第三天C.第四天D.第五天
【解析】由题意可得:
蒲发芽的第一天长高3尺,第二天长高尺,第三天长高尺;
莞发芽的第一天长高1尺,第二天长高尺,第三天长高尺;
综上可得:
蒲和莞高度相同的时刻在第三天.
8.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的()
A.115B.116C.357D.358
【解析】结合题意,程序运行如下:
首先初始化,
第一次循环,,此时不满足,执行;
第二次循环,,此时不满足,执行;
第三次循环,,此时不满足,执行;
第四次循环,,此时不满足,执行;
第五次循环,,此时满足,跳出循环,输出.
点睛:
此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算,逐次判断是否满足判断框内的条件,决定循环是否结束.要注意初始值的变化,分清计数变量与累加(乘)变量,掌握循环体等关键环节.
9.函数的图象大致是()
A.B.
C.D.
【解析】函数有意义,则:
由函数的解析式可得:
,则选项BD错误;
且,则选项C错误;
本题选择A选项.
10.已知函数,则()
A.44B.45C.1009D.2018
【解析】原问题等价于求解:
中有理数的个数,
结合可得:
有理数的个数为个,
即:
11.在中,,若,则周长的取值范围是()
则:
,即:
据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形,则:
据此有:
,△ABC的周长:
三角形满足两边之和大于第三边,则:
周长的取值范围是.
12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是()
【解析】设,令,由题意可得:
据此可得:
,则:
由可得:
结合二次函数的性质可得:
,即的取值范围是.
圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质,求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量,,且,则________.
【答案】
【解析】由向量平行的充要条件有:
14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数,则的单调递减区间为________.
【解析】函数的解析式:
据此可得,函数的单调递减区间满足:
计算可得,函数的单调递减区间为.
15.数列的前项和为,若,则数列的前项和为____________.
【解析】当时,,
由题意可得:
两式作差可得:
据此可得,数列是首项为,公比为的等比数列,
则,错位相减可得其前n项和,
分组求和可得数列的前项和为.
数列求和的方法技巧:
(1)倒序相加:
用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和.
(2)错位相减:
用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:
用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.
16.已知四棱椎中,底面是边长为2的菱形,且,则四棱锥体积的最大值为________.
【解析】四棱锥的体积最大,则使得底面积和高均取得最大值即可,
底面积最大时,ABCD为正方形,此时底面积,
高有最大值,首先要保证平面平面,
由可知,点在平面内的轨迹是以中点为圆心,长度为直径的圆,
则高的最大值为:
体积的最大值为:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,内角所对的边是,,,.
(1)求的值;
(2)求边上的高.
(1);
(2).
(1)由,结合同角三角函数基本关系可得可得.
(2)由
(1)知,结合数量积的定义可得,又,故,,由余弦定理可得,利用面积相等可得边上的高为.
试题解析:
(1)在中,由,可得.
(2)由
(1)知,
由,,又,
解得:
,,
由,可得,
设边上的高为,则,
所以边上的高为.
18.如图,在四棱锥中,平面,底面是平行四边形,,,是上的动点.
(1)求证:
平面平面;
(2)求四棱锥的侧面积.
(1)证明见解析;
(1)由题意可知四边形是菱形,,由线面垂直的性质可得,故平面,结合面面垂直的判断定理可得平面平面.
(2)过作交于,连接,由几何关系可得,且有,,而,结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为.
(1)在平行四边形中,,
∴四边形是菱形,∴,
∵平面,平面
∴,又,∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
(2)∵平面,过作交于,连接,
∵,,,∴,
∵,,,
∴平面,∴,
∴,
又∵,,
∴四棱锥的侧面积为.
19.某中学为了解高一学生的视力健康状况,在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表,按照《中国学生体质健康监测工作手册》的方法对1039名学生进行了视力检测,判断标准为:
双眼裸眼视力为视力正常,为视力低下,其中为轻度,为中度,为重度.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.
(1)求该校高一年级轻度近视患病率;
(2)根据保护视力的需要,需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊,并开展相应的矫治,则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人?
(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常,则从这6名学生中任选2人,恰有1人视力正常的概率是多少?
(2)135人;
(3).
(1)由柱状图计算可得该校高一年级学生轻度近视患病率为.
(2)由已知计算可得:
该校高一年级需通知的家长人数约为人.
(3)记6名学生中视力正常的学生为,,视力低下的学生为,,,,列出所有可能的基本事件,结合古典概型计算公式可得恰有1人视力正常的概率是.
(1)由柱状图可得:
即该校高一年级学生轻度近视患病率为.
(2)由已知可得:
(人)
即该校高一年级需通知的家长人数约为135人.
(3)记6名学生中视力正常的学生为,,视力低下的学生为,,,,
则从中任选2人所有可能为:
,,,,,,,,,,,,,,,
∴.
即从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率为.
20.已知抛物线的焦点到直线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点是抛物线上的动点,若以点为圆心的圆在轴上截得的弦长均为4,求证:
圆恒过定点.
(2)证明见解析.
(1)由题意可得抛物线的焦点坐标为,利用点到直线距离公式得到关于实数p的方程,解方程可得抛物线的标准方程是.
(2)设圆心的坐标为,半径为,由题意结合勾股定理有,则圆的标准方程整理变形可得,该方程对于任意的均成立,则据此可得圆过一定点为.
(1)由题意,,焦点坐标为,
由点到直线的距离公式,得,
所以抛物线的标准方程是.
(2)设圆心的坐标为,半径为,圆在轴上截得的弦长为,
所以,
圆的标准方程:
化简得:
,①
对于任意的,方程①均成立,
故有:
,所以,圆过一定点为.
求定点问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定点,再证明这个点与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点.
21.已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知,若函数恒成立,试确定的取值范围.
(1)答案见解析;
(1)由函数的解析式有,结合二次函数的性质分类讨论:
当时,函数在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)由
(1)可知,,满足题意时需,即,结合题意构造函数在,结合函数的性质可得的取值范围是.
(1)由,得:
当时,在上恒成立,函数在上单调递增;
当时,令,则,得,,
∵,∴,
∴令得,令得,
∴在上单调递增,在上单调递减.
(2)由
(1)可知,当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
即需,即,
又由得,代入上面的不等式得,
由函数在上单调递增,,
所以,∴,∴,
所以的取值范围是.
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而
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