高考数学一轮第8章 第6节 双曲线Word格式文档下载.docx
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x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴;
对称中心:
原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
虚轴
线段实A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±
x,离心率为e=.
三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为Ax2+By2=1(AB<
0).
(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±
ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0).
(3)与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()
(2)方程-=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.()
(3)双曲线-=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±
=0.()
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√
2.双曲线-=1的焦距为()
A.5B.C.2D.1
C [由双曲线-=1,易知c2=3+2=5,所以c=,所以双曲线-=1的焦距为2.]
3.(教材题改编)已知双曲线-=1(a>
0)的离心率为2,则a=()
A.2B.C.D.1
D [依题意,e===2,∴=2a,则a2=1,a=1.]
4.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=________.
17 [由题意知|PF1|=9<a+c=10,所以P点在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.]
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为________.
-y2=1 [由题意可得解得a=2,则b=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.]
双曲线的定义及应用
1.已知F1,F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()
A.B.C.D.
C [∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2|PF2|=4,则cos∠F1PF2=
==.选C.]
2.若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是()
A.8B.9C.10D.12
B [由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号.]
[规律方法] 双曲线定义的两个应用
一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;
二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
双曲线的标准方程
【例1】 设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是________.
-=1[法一:
椭圆+=1的焦点坐标是(0,±
3),设双曲线方程为-=1(a>
0,b>
0),根据双曲线的定义知2a=|-|=4,故a=2.
又b2=32-22=5,故所求双曲线的标准方程为-=1.
法二:
3).设双曲线方程为-=1(a>
0),则a2+b2=9,①
又点(,4)在双曲线上,所以-=1,②
联立①②解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.
法三:
设双曲线的方程为+=1(27<
λ<
36),由于双曲线过点(,4),故+=1,解得λ1=32,λ2=0,
经检验λ1=32,λ2=0都是方程的根,但λ=0不符合题意,应舍去,所以λ=32.
故所求双曲线的标准方程为-=1.]
[规律方法] 求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法:
设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为
(2)定义法:
依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
(1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()
A.-=1B.-=1
C.-y2=1D.x2-=1
(2)(2019·
郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为30°
,则该双曲线的标准方程为()
C.-=1D.-=1
(1)D
(2)B [
(1)由题意知,双曲线的渐近线方程为y=±
x,即bx±
ay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以=,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,即b2=3,所以a2=1,故双曲线的方程为x2-=1.
(2)∵x2=24y,∴焦点为(0,6),
∴可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
∵渐近线方程为y=±
x,
其中一条渐近线的倾斜角为30°
,
∴=,c=6,∴a2=9,b2=27.
其方程为-=1.]
双曲线的几何性质
►考法1 求双曲线的离心率的值(或范围)
【例2】
(1)(2017·
全国卷Ⅱ)若a>
1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()
A.(,+∞)B.(,2)
C.(1,)D.(1,2)
(2)(2018·
全国卷Ⅲ)设F1,F2是双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()
A.B.2C.D.
(1)C
(2)C [
(1)由题意得双曲线的离心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,
∴1<e<.
故选C.
(2)不妨设一条渐近线的方程为y=x,则F2到y=x的距离d==b,在Rt△F2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=a.又|F1O|=c,所以在△F1PO与Rt△F2PO中,根据余弦定理得cos∠POF1==-cos∠POF2=-,即3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==.]
►考法2 双曲线的渐近线问题
【例3】
(1)(2019·
合肥质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.
(2)已知F1,F2是双曲线C:
-=1(a>
0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°
,则双曲线C的渐近线方程是________.
(1)y=±
x
(2)x±
y=0 [
(1)因为e==,所以c2=a2+b2=3a2,故b=a,则此双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x.
(2)由题意,不妨设|PF1|>
|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>
a,所以有|PF2|<
|F1F2|,所以∠PF1F2=30°
,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·
2c·
4acos30°
,得c=a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±
x,即x±
y=0.]
►考法3 求双曲线的方程
【例4】 已知双曲线-=1(a>
0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()
B [由离心率为,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意知kPF===1,所以a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1.]
[规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率或范围.依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式或不等式,解方程或不等式即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(1)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()
A.(-1,3)B.(-1,)
C.(0,3)D.(0,)
(2)已知双曲线E:
-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.
(1)A
(2)2 [
(1)若双曲线的焦点在x轴上,则又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,
∴∴-1<
n<
3.
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为
-=1,即即n>
3m2且n<
-m2,此时n不存在.故选A.
(2)由已知得|AB|=,|BC|=2c,∴2×
=3×
2c.又∵b2=c2-a2,整理得2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2,得2-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2.]
1.(2018·
全国卷Ⅱ)双曲线-=1(a>
0)的离心率为,则其渐近线方程为()
A.y=±
xB.y=±
C.y=±
xD.y=±
A [因为双曲线的离心率为,所以=,即c=a.又c2=a2+b2,所以(a)2=a2+b2,化简得2a2=b2,所以=.因为双曲线的渐近线方程为y=±
x,所以y=±
x.故选A]
2.(2018·
全国卷Ⅲ)已知双曲线C:
0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()
A.B.2 C. D.2
D [法一:
由离心率e==,得c=a,又b2=c2-a2,得b=a,所以双曲线
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