知识讲解复数基础Word格式.docx

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复数集与其它数集之间的关系：

4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：

对于复数（），

当且仅当时，复数是实数；

当且仅当时，复数叫做虚数；

当且仅当且时，复数叫做纯虚数；

当且仅当时，复数就是实数0.

所以复数的分类如下:

　　（）

5.复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即：

如果，那么.

特别地:

.

应当理解:

（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；

反之一样.

（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

如果两个复数都是实数，就可以比较大小；

也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

6.共轭复数：

两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。

复数和（）互为共轭复数。

考点二：

复数的代数表示法及其四则运算

1.复数的代数形式:

复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。

2.四则运算

；

复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：

。

考点三：

复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。

故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数复平面内的点

这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；

反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2.复数的几何表示

（1）坐标表示:

在复平面内以点表示复数（）；

（2）向量表示:

以原点为起点，点为终点的向量表示复数.

向量的长度叫做复数的模，记作.即.

要点诠释:

（1）向量与点以及复数有一一对应；

（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3.复数加法的几何意义：

如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。

4.复数减法的几何意义：

两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；

2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；

3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；

4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。

【典型例题】

类型一：

复数的有关概念

【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：

（1）是纯虚数；

（2）对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】

（1）当即时，复数是纯虚数；

（2）当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；

对一些概念的等价表达式要熟知。

比如：

（）；

是纯虚数（）；

举一反三：

【变式1】复数为纯虚数，则实数a为（　　）．

A．2B．－2C．－D.

【答案】A

【解析】，

由纯虚数的概念知：

＝0，∴a＝2.

【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数。

【解析】

（1）当即或时，复数为实数；

（2）当即且时，复数为虚数；

（3）当即时，复数为纯虚数.

【变式2】已知复数满足且,则复数（）

A.必为纯虚数　　　B.是虚数但不一定是纯虚数

C.必为实数　　　　D.可能是实数也可能是虚数

【答案】

[法1]设（），有,.

则，故应选C。

[法2]∵,∴.

[法3]∵，∴.

类型二：

复数相等

【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+（b+2）｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b

【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。

【解答】

…………………………①

或…………………………………………②

或…………………………③

由①得a=-3,b=±

2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。

∴a=-3，b=2

由②得a=±

3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;

由③得,此方程组无整数解。

综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。

【总结升华】

1、a+bi=c+di.

2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。

解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。

注：

对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z=a+bi（a,b∈R）。

【变式】已知复数z1满足（z1-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1·

z2是实数，求z2.

【解析】设z2=a+2i（a∈R），由已知复数z1满足（z1-2）（1+i）=1-i,得z1=2-i，又已知z1·

z2=（2-i）·

（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.

类型三：

复数的代数形式的四则运算

【例3】计算：

【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。

【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。

【变式1】

【答案】：

原式=

【变式2】复数（）

.B.C.D.

【解析】选C解法一：

解法二：

验证法验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.

【例4】已知z1，z2为复数，（3＋i）z1为实数，且|z2|＝求z2.

【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.

z1＝z2（2＋i），（3＋i）z1＝z2（2＋i）（3＋i）＝z2（5＋5i）∈R，

∵|z2|＝

∴|z2（5＋5i）|＝50，

∴z2（5＋5i）＝±

50，

【总结升华】1、

（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

（2）记住以下结论，可提高运算速度：

①（1±

i）2=±

2i；

⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（n∈N）.

2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

【变式1】设，（为虚数单位），则的值为

【解析】因为，

所以

【答案】8

【变式2】设i为虚数单位，则复数

A.B.C.D.

【解析】选D..

【例5】已知复数（），若所对应的点在第四象限，求的取值范围.

【思路点拨】在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。

【解析】∵

∴，解得.

∴的取值范围为.

【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；

反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

∵所对应的点在第二象限

∴且，且

∴，故选D

【变式2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（　　）．

A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i

【答案】C

【解析】复数6＋5i对应的点为A（6,5），复数－2＋3i对应的点为

B（－2,3）．利用中点坐标公式得线段AB的中点C（2,4），故点C

对应的复数为2＋4i.

类型四：

化复数问题为实数问题

【例6】已知互为共轭复数，且,求.

【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。

【解析】设（），则,代入原等式得：

∴，解得：

或或或，

∴或或或。

复数定义：

“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；

设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。

【变式1】已知复数，求实数使

∵,∴

∵,∴，解得或

【变式2】令,求使方程成立的复数.

令（），则原方程化为:

即，

∴，解之有或（舍去）

∴当时，复数.

【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.

【思路点拨】根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。

【解析】设为方程的一个实根，则有

即

∴，解得.

【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。

【变式】已知方程有实根，求实数.

设实根为,则

即

∴，解得

∴为所求.

【变式2】已知，方程的两根为、，求.

∵，∴方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。

（1）当，即时，方程的根、为实数根，

由韦达定理

又∵

∴

①当时，,

②当时，.

（2）当,即时，方程的根、为虚根。