1复变函数与积分变换试的题目复制文档格式.docx
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函数解析性的判定
(三)证明函数在复平面上处处不解析。
一个复变函数解析等价于实部虚部可微且满足C-R条件(或实部虚部偏导连续存在且满足C-R条件),也等价于虚部是实部的共轭调和函数,另外还可以从定义出发先判断可导性。
①绝大部分同学采用了第一种方法,个别采用了第二种,少部分采用了第三种,解答都基本正确,只是有个别同学不明白Rez代表的意思,导致函数表示错误;
②本题最容易犯的错误本次考试还是有所体现:
一些学生认为实部虚部偏导存在,则复变函数可导。
证明一:
偏导处处存在连续,而满足C--R条件的点为,说明只在可导,其它点不可导,故处处不解析。
证明二:
处处不调和,故处处不解析。
证明三:
故不存在,说明的点处处不可导,故复平面上处处不解析。
证明四:
因为处处可导,处处不可导,故处处不可导,从而复平面上处处不解析。
错解:
:
偏导处处存在,故处处可导。
3、积分和留数的计算
(一、3)、下列积分中,积分值不为零的是(D)。
A.其中C为正向圆周
B.,其中C为正向圆周
柯西定理,柯西积分公式,高阶求导公式
典型例子,复对数的解析区域、留数定理
C.,其中C为正向圆周
D.,其中C为正向圆周
(一、4)、设在处解析,且则(A)。
(二、5)、积分=。
5、下列映射中把角形域保角映射成单位圆内部的是()。
A.B.C.D.
得分
二、(共20分每小题4分)填空题
1、。
2、在点的旋转角为。
3、=0是函数的(说出类型,如果是极点,则要说明级数)。
4、的收敛半径是。
5、积分=。
三、(共5分)证明函数在复平面上处处不解析。
4、(共16分,每小题8分)计算下列积分
1、计算积分,其中C为正向圆周。
2、利用留数定理求实积分。
五、(共8分)求在圆环域和内的罗朗展开式。
六、(共8分)求将单位圆映射成单位圆的分式线性映射,且满足条件
。
七、(共16分,每小题8分)计算题
1、设求。
2、利用Laplace变换求解微分方程
8、(共7分,1题4分,2题3分)解答题
1、若为正向圆周分。
2、“是的可去奇点。
”该说法是否正确,如果错误给出理由。
2010/2011学年第一学期期末考试试题答案及评分标准
(A卷)
复变函数与积分变换
使用班级:
09050141-2,09050241-2,09050341-3,09050441-2,09050541-2,09050641-2,09050741-2,09050841,09050941-2,09060241-2,09060441-2,09070641-2,09六院实验班
一、(共20分每小题4分)单项选择题
1、D;
2、C;
3、D;
4、A;
5、B;
二、填空题(每题4分,共20分)
1、;
2、0;
3、3级极点;
4、;
5、;
证明:
…(2分)
满足C--R条件的点为,…(4分)
说明只在可导,其它点不可导,故处处不解析。
…(5分)
1、计算积分,其中其中C为正向圆周。
解:
在内部有两个奇点,由复合闭路定理有:
其中为分别包含,的简单闭曲线的正向;
…(3分)
…(7分)
…(8分)
2、利用留数求实积分。
,分母的次数比分子的次数高2次,分母没有实根,…(2分)
所以
…(4分)
都为的一级极点,…(5分)
故。
…(8分)
当时,
…(4分)
当时,
分式线性映射为,…(3分)
由,得,故,…(5分)
由得…(7分)
所以所求的分式线性映射为。
…(4分)
…(8分)
对方程两端同时取Laplace变换有:
即:
代入条件得到…(4分)
解得…(6分)
对取Laplace逆变换,得到…(8分)
1、若为正向圆周求积分。
=…(3分)
2、“是的可去奇点。
错误…(1分)
不存在,也不是无穷大,故为本性奇点。
…(3分)
或者
,负幂项有无限项,故为本性奇点。
试卷分析
1、对出题的覆盖面、难度及侧重点的评价。
本试卷对各章主要知识点基本都进行了考察,包括复数的运算(第一题的1、2,第二题的1,占12分),函数解析性的判定(第三题,占5分),积分和留数的计算(第一题的3、4,第二题的5,第四题,第八题的1,占32分),奇点类型的判定(第二题的3,第八题的2,占7分),级数的收敛性及展开(第二题的4,第五题,占12分),保角映射(第一题的5,第二题的2,第六题,占16分),积分变换(第七题,占16分)。
其中有难度综合性的题目占到了11分,如第一题的5,主要考察了幂函数、分式线性映射性质的应用,属于综合性题目,需要学生有一个严密的分析问题的过程;
第八题的1考察求积分,表面看已不是常见的积分类型,但通过复数的性质可以将问题转化成常见类型,主要考察学生解决问题的能力和灵活程度;
第八题的2是判断奇点类型的题,考察了复三角函数相对于实三角函数的变化,同时也考察了奇点的两种判定方法,要求学生有一定的思辨和归纳总结能力。
第一题的4,第二题的5,第七题的积分变换都属于中等题占到了24%,其余的为基本题占65%,主要考察了学生对基本概念的理解程度和基本方法的掌握应用情况。
总体上来说,符合教学大纲要求,重点难点突出,题目难易程度适中。
2、学生掌握课程知识的情况分析。
整体来看,学生对基本知识点,基本方法的掌握还是不错的,但是也暴漏了一些问题,下面按知识点具体分析。
1)复数的运算:
(一、1)错误率高,学生对辐角主值和反正切的范围不清楚。
2)函数解析性的判定:
一个复变函数解析等价于实部虚部可微且满足C-R条件,也等价于虚部是实部的共轭调和函数,另外还可以从定义出发先判断可导性。
③学生对常见的不解析函数没有掌握,(八、1)求积分时,有很多同学认为解析。
3)积分和留数的计算:
①不少同学思路正确,但不能拿满分,出错原因主要有:
二级极点求留数的公式少了求导、留数定理少乘了2、利用留数算拉普拉斯逆变换时多乘了2,计算第二类实积分时多考虑了下半平面的奇点留数;
②函数掌握的不好;
③(八、1)少部分同学利用共轭的性质或变量代换能够完全做对,最主要的错误有两个,一是认为解析,积分为0,二是直接将洛朗展开,找。
4)奇点类型的判断:
①(二、3)得分率很低,知道是极点,但是级数判断不对;
②(八、2)部分同学误以为复三角函数有界,认为命题正确,导致错误;
大部分同学判断命题错误,但是理由不明,有些学生还将没有负幂项和=0混淆,利用后者来作为判断可去奇点的依据。
5)级数的收敛性及展开:
①(二、4)好多同学的收敛半径写的是复数;
②第五答题的级数展开,有些同学没有掌握实质,不管范围,不管在哪个点,乱展一气。
6)保角映射:
①(二、2)部分同学旋转角定义不清楚;
②第六题部分同学只写对一半,错认为乘积的辐角等于辐角的乘积。
7)积分变换:
①傅立叶变换(七、1)得分率很低,性质没有记住或者不会用;
②拉普拉斯变换(七、2)有些学生不会求逆变换,其实讲了很多办法,但学生不会活用,很多用卷积做的,但公式是错误的!
3、从试卷情况分析教学中成功之处、存在的问题、建议及今后须注意的问题等。
从试卷来看,大部分学生对基本知识点,基本方法的掌握还是比较扎实的,少部分同学能够做到灵活运用。
但是也存在一些问题,从第2部分错误点的原因分析要求在以后的教学过程中①逐步努力地调动学生积极性,让学生拿笔动起来,加强基本功训练,提高计算能力;
②对学生经常犯的错误以及错误的原因,要反复强调;
③加强学生对容易混淆概念的区分,培养学生的思辨能力;
④以后要鼓励学生多多总结,培养学生的归纳总结能力;
⑤增加习题课的比例。
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